¿Cuáles son tres números naturales cuya suma y producto son iguales?

1,2,31,2,3 o 0,0,00,0,0.

No hay más respuestas y se puede probar.

Sean a,b,ca,b,c los números, y sin pérdida de generalidad los tenemos ordenados: a≤b≤ca≤b≤c, entonces el problema nos dice que abc=a+b+cabc=a+b+c. Si alguno de ellos es cero tenemos que abc=0abc=0 y por ende a+b+c=0a+b+c=0. La única forma que números naturales sumen cero es que todos sean cero.

Si ninguno es cero, tenemos 1≤a≤b≤c1≤a≤b≤c. De ahí tenemos que a+b+c≤c+c+c=3ca+b+c≤c+c+c=3c y por ende abc≤3cabc≤3c. Eso implica ab≤3ab≤3.

Eso implica que abab es 0, 1, 2 o 3. Es cero sólo si alguno de ellos es cero y ese caso ya lo cubrimos.

Si ab=1ab=1, sólo se puede si a=1,b=1a=1,b=1; en cuyo caso la ecuación abc=a+b+cabc=a+b+c se transforma en c=c+2c=c+2, que no tiene solución.

Si ab=2ab=2, sólo se puede si a=1,b=2a=1,b=2. Así la ecuación abc=a+b+cabc=a+b+c queda como 2c=3+c2c=3+c cuya única solución es c=3c=3.

Si ab=3ab=3, solo se puede si a=1,b=3a=1,b=3. Con esto la ecuación abc=a+b+cabc=a+b+c queda como 3c=4+c3c=4+c cuya única solución es c=2c=2. Esta solución 1,3,21,3,2 contradice la suposición a≤b≤ca≤b≤c y no nos agrega ninguna solución distinta a la que teníamos.