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He visto montones de problemas de este estilo… aunque por lo que recuerdo, eran de Quora en inglés o bien alguna traducción, más que de Quora ES.

Del estilo de cuál es mayor: C^D o bien D^C
Es típico poner valores como 100 o 1000 porque las calculadoras normales no llegan a calcularlo y no se sabe con calculadora.

Lo que recuerdo de esos problemas es que el número e era el punto crítico, de forma que si ambos, C y D son mayores que e, entonces es mayor el que tiene mayor exponente, y no el que tiene mayor base.

Si ambos son menores que e, se da el caso opuesto, que es mayor el que tiene mayor base…

Sin embargo, cuando uno (C) es menor que e y el otro (D) es mayor que e no es fácil saber cuál de las dos expresiones es mayor.

7071707171707170

10001001100010011001100010011000

ab>baab>ba0<a<e<b0a,b∈Ra,b∈R

3e3ee3e3

En este caso los números son (n+a) y (n+b) siendo mayor el primero de ellos.

Si (n+b) es mayor (o igual) que e, entonces ambos son mayores (o iguales) que e y el que tiene exponente mayor, en este caso el exponente (n+a) será mayor que el otro.
Esto es lo mismo que dice David, cuando habla del caso
n≥e−bn≥e−b

Si (n+a) es menor o igual que e, entonces ambos son menores (o iguales) que e y el que tiene la base mayor, en este caso la base (n+a) será el mayor…

Por tanto, el único caso que es más difícil de saber es cuando (n+b) es menor que e y (n+a) es mayor que e…
Por ejemplo, siendo a y b enteros, a > b, puede ser que b sea 1 y que a sea 2… y el caso dudoso sería cuando (n+1) < e y (n+2) > e… Por ejemplo, cuando n vale 1.
En este caso: 23=8<32=923=8<32=9
Pero si a = 3 sería: 24=16=4224=16=42
Y si a = 4: 25=32>52=2525=32>52=25

Como se ve, ¡¡ hay incluso casos que son iguales!!
No siempre una de las dos cosas es mayor que la otra.

Y no me parece fácil saber cuándo una expresión es mayor que la otra en estos casos.

Ahora bien, el caso en que n sea un número natural (como parece sugerir el nombre “n”), si es mayor o igual que 1, solamente dejaría 2 casos dudosos para la b: cuando b=0 y cuando b=1.

Cuando b=1, solamente habrá duda cuando n=1 y este caso ya lo dije antes, si a=2 es menor el de exponente mayor, si a=3 son iguales y si a = 4 o mayor será mayor.

Cuando b=0, si n=2 me temo que es el mismo caso de antes: (b+n) = 2.
Bueno, perdón, en este caso puede ser a=1 … siendo (a+n) = 3 y sería menor el de exponente mayor, ya que 2^3 = 8 < 3^2 = 9… y esto sería como el caso “a=2” de antes. Para a=2, sería (a+n)=4 y serían iguales, como el caso “a=3” de antes. Para a=3 o más, sería (a+n) = 5 o más y sería mayor el de exponente mayor, que sería como el caso “a=4 o más” de antes.

Cuando b=0, si n=1, entonces (b+n) = 1 y (a+n) mayor que 1… por tanto, es menor el de exponente mayor, ya que 1 elevado a algo mayor que 1 es igual a 1, que será menor que algo mayor que 1 elevado a 1.

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En cuanto a por qué el número e es el punto crítico que marca diferencias, aunque está muy trillado en otros enlaces que puse, lo voy a explicar un poco.

Una de las estrategias es sacar logaritmos en ambos lados. Dado que la función logaritmo es estrictamente creciente, comprobar si C^D es mayor que D^C es equivalente a comprobar si los logaritmos son uno mayor que otro.

D* log(C) > C*log(D)

Dividiendo por D*C:

log(C)C>log(D)Dlog(C)C>log(D)D

Y ya lo hemos reducido a una función
log(x)xlog(x)x

Basta saber cuándo esa función crece, tal que para mayor x, mayor f(x), y cuando decrece, que se puede saber con una simple derivada.

Otro “truco” para llegar a la misma conclusión es usar otra función:

x1x>z1zx1x>z1z

Al elevarla a (x*z) tenemos:

xz>zxxz>zx

Nótese que

x1x=eln(x)xx1x=eln(x)x

Y, por tanto, dado que la exponencial es estrictamente creciente, observar el comportamiento de esta última función equivale a la función anterior.

Si tenemos la función

f(x)=lnxxf(x)=ln⁡xx

La derivada es:
f′(x)=1−lnxx2f′(x)=1−ln⁡xx2

que se puede ver que se anula en x = e

Para x < e es positiva, y, por tanto la función crece, mientras que para x > e el logaritmo natural es mayor que 1, y, por tanto, la derivada es negativa y f decrece.

Esto implica que:

log(C)C<log(D)Dlog(C)C

cuando C > D si ambos son mayores que e…

Y en esos casos CD<DCCD

Y, también

log(C)C>log(D)Dlog(C)C>log(D)D

cuando C > D si ambos son menores que e…
Y en esos casos CD>DCCD>DC

Si sustituimos C (el mayor) por (n+a) y D (el menor) por (n+b) tenemos todo lo que dije antes.