¿Cómo encontrar la convergencia y la determinación enésima de la serie (1/n) ^3?

Pregunta: ¿cómo encontrar la convergencia y la determinación enésima de la serie (1/n)^3?

Esta serie es más interesante de lo que muchos piensan.

Se trata de un caso particular de una familia conocida de series denominadas de Dirichlet. Las series de Dirichlet tienen, a su vez, conexión con una función muy importante de la teoría de números llamada función zeta de Riemann.

La función zeta se define sobre los números complejos y tiene la siguiente forma: ζ(s)=∑∞n=11nsζ(s)=∑n=1∞1ns, s∈Cs∈C.

Se sabe que la función zeta de Riemann converge para valores de Re(s)>1Re(s)>1 (donde ReRe es la parte real del número complejo s). Como podemos ver, en el caso que propone la pregunta es s=3s=3. Por eso sabemos que converge.

Pero… ¿a qué valor? Pues precisamente al valor de ζ(3)ζ(3). Eso es casi lo mejor que podemos decir.

Se trata de un valor irracional que solo puede darse de forma aproximada. La demostración de que no es racional se debe a Roger Apéry quien también demostró que es un número transcendente (no se corresponde con una raiz de una ecuación algebraica) y ofreció un método más rápido para calcular su valor que la simple fuerza bruta (es decir que iterar millones de veces). Debido a esto actualmente el valor de ζ(3)ζ(3) se conoce como Constante de Apéry.

Hay diversos métodos para calcular el límite de convergencia de ζ(3)ζ(3) que se deben a varios matemáticos, pero las matemáticas involucradas no son fáciles. Con decir que el famosísimo matemático Euler nunca llegó a ofrecer una equivalencia analítica (es decir, una que utilice operaciones sobre constantes conocidas) o a poder calcular su valor con precisión arbitraria.

Apéry propuso la siguiente serie que converge más rápidamente que la definición básica:

ζ(3)=−52∑∞n=1(−1)n(n!)2n3(2n)!ζ(3)=−52∑n=1∞(−1)n(n!)2n3(2n)!

Su valor aproximado es 1.20205690315959421.2020569031595942…

Puede Vd. calcular más decimales con [Wolfram Alpha infinite series calculator].

Obviamente, hoy día Vd. también puede calcular un valor aproximado con ayuda de un ordenador sin más que iterar una suma hasta el aburrimiento. Por ejemplo, usando Python iterando cien mil veces de la siguiente manera…

suma= 0.0 
for n in range(1,10**5): 
   suma= suma + (1.0 / n) ** 3 
suma 

…en menos de un segundo llegamos al valor 1.2020569031091.202056903109. que, como podemos ver, se aproxima hasta el décimo decimal. Si vamos algo más allá e iteramos un millón de veces llegamos a un valor de 1.2020569031503211.202056903150321 que se aproxima hasta el duodécimo decimal. Desgraciadamente con un ordenador no podemos avanzar mucho más debido a los redondeos de la artimética en coma flotante, y si iteramos diez millones de veces (o incluso cien millones de veces) el resultado que obtenemos es el mismo que si iteramos un millón de veces.

Existen varias series que convergen rápidamente a la constante de Apéry.

Referencias:

[Método elemental para la evaluación de la función zeta… por Eugenio Banzario]

[Valores especiales de la función zeta… por Alexy Beshenov].