¿Por qué la serie 1^n es divergente?

Porque a base de ir sumando términos podemos superar cualquier valor finito que queramos. Es muy sencillo de comprobarlo. Para ello iremos agrupando a nuestra conveniencia los sumandos en grupos crecientes de uno, dos, cuatro, ocho, … elementos, de la siguiente manera:

S=12+(13+14)+(15+16+17+18)+(19+110+...>S=12+(13+14)+(15+16+17+18)+(19+110+...>

12+(14+14)+(18+18+18+18)+(116+116+...12+(14+14)+(18+18+18+18)+(116+116+...

la desigualdad se produce porque en el segundo caso hemos sustituido algunas fracciones siempre por otras menores que las iniciales. Así, tendremos:

S>12+...+121vez+14+...+142veces+18+...+184veces+116+...+1168veces+...=S>12+...+12⏟1vez+14+...+14⏟2veces+18+...+18⏟4veces+116+...+116⏟8veces+...=

12+12+12...12+12+12...

Pero, así agrupado, vemos que cada agrupación vale 1212 y tenemos infinitas de ellas, luego la suma total es infinita.

S>12+12+12...⟶∞S>12+12+12...⟶∞