¿Qué ocurre cuando una secuencia converge?

Simplemente que en el infinito, esa sucesión se acerca a un valor fijo.

Por ejemplo, la siguiente sucesión converge a dos:

∑n=0∞12n=120+121+122+⋯=11+12+14+18+⋯∑n=0∞12n=120+121+122+⋯=11+12+14+18+⋯

Si probamos sumando los primeros cinco términos, tenemos el siguiente resultado:

11+12+14+18+116=1.937511+12+14+18+116=1.9375

Si sumamos los 10 primeros términos, tenemos 1.9980468751.998046875

Y así podemos ver que, conforme probemos con más términos, tendiendo al infinito, la suma se acerca a dos.

Eso es convergencia.

El caso contrario, es decir, que una sucesión no se acerque a ningún valor, por ende, sea infinito, se dice que diverge.