ManualCD2019

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Cálculo Diferencial
Daniel Azagra Rueda
La Resistencia del
DEPARTAMENTO DE ANÁLISIS MATEMÁTICO
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
Revisado: Agosto de 2019
ISBN-13: 978-84-611-6378-6
2
Índice general
I Conceptos métricos y topológicos en Rn 5
1. Métricas, normas y productos escalares 7
1.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Algunas desigualdades importantes 17
3. Conceptos topológicos 21
3.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4. Sucesiones, completitud y compacidad 29
4.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5. Límites, continuidad y continuidad uniforme 45
5.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6. Conexión y convexidad 73
6.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7. Algunos temas más avanzados de topología 87
7.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
II Cálculo diferencial en Rn 99
8. Derivadas direccionales y gradientes 101
8.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9. Funciones diferenciables 115
9.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10. Teorema del valor medio 129
10.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11. Derivadas de orden superior 135
11.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
12. Teorema de Taylor. Aproximación. 151
12.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3
4 ÍNDICE GENERAL
13. Extremos locales 163
13.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
14. Teoremas de la función inversa e implícita 177
14.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
15. Variedades diferenciables en Rn 195
15.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Apéndice A 215
Apéndice B 217
Bibliografía 221
Parte I
Conceptos métricos y topológicos en Rn
5
Capítulo 1
Métricas, normas y productos escalares
El alumno de esta asignatura ya ha realizado un curso anual de álgebra lineal y está fami-
liarizado con los espacios vectoriales de dimensión finita, aplicaciones lineales, bases, matrices
y determinantes. Ha adquirido por tanto una comprensión suficiente de la estructura lineal y
afín de los espacios Rn, aunque quizás no esté tan familiarizado con la estructura métrica de los
mismos. En este primer capítulo resumimos las propiedades más importantes de los espacios
Rn que tienen que ver con ángulos, ortogonalidad de vectores, y distancias entre puntos (u otros
subconjuntos) del espacio.
Comenzamos recordando la definición de producto escalar, ortogonalidad de vectores y
subespacios, y demostrando aquellas de sus propiedades que serán más útiles de cara al estudio
de esta asignatura, como la desigualdad de Cauchy-Schwarz. A partir del producto escalar in-
troducimos la norma y la distancia euclideas. Esto da pie a abstraer algunas de las propiedades
esenciales de esta métrica euclidea y llegar así al concepto de norma en un espacio vectorial.
Continuamos con un breve estudio de las propiedades generales de las normas y algunos ejem-
plos.
Asociada a cada norma tenemos una distancia en el espacio Rn que lo dota de una estructura
de espacio métrico, pero esta distancia no es una métrica arbitraria en Rn, sino que tiene la
propiedad de ser invariante por traslaciones: ésta es una de las ventajas principales de usar
normas en lugar de distancias. Concluimos estudiando brevemente varios ejemplos concretos
de espacios métricos, así como algunos conceptos generales que tienen que ver con distancias.
Definición 1.1. En el espacio vectorial Rn se define el producto escalar euclideo de dos vectores
x = (x1, ..., xn) e y = (y1, ..., yn) ∈ Rn como
〈x, y〉 =
n∑
j=1
xjyj.
Geométricamente, este número corresponde al coseno del ángulo α que forman los vectores x
y y multiplicado por las longitudes de dichos vectores. En particular, los vectores x e y son
perpendiculares si y sólo si 〈x, y〉 = 0.
Las propiedades más importantes del producto escalar quedan resumidas en la proposición
siguiente, cuya demostración es una mera comprobación que queda a cargo del lector.
Proposición 1.1. Para cada x, y, z ∈ Rn, λ ∈ R, tenemos que
1. 〈x, x〉 ≥ 0, y además 〈x, x〉 = 0 si y sólo si x = 0;
2. 〈x, y〉 = 〈y, x〉;
7
8 CAPÍTULO 1. MÉTRICAS, NORMAS Y PRODUCTOS ESCALARES
3. 〈λx, y〉 = λ〈x, y〉;
4. 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉.
Esto, en el lenguaje del álgebra lineal, simplemente significa que 〈·, ·〉 es una forma bili-
neal simétrica definida positiva en Rn. Por supuesto ésta no es la única forma bilineal con tales
propiedades en Rn. Por ejemplo, para cualesquiera números positivos λ1, ..., λn, la aplicación
(x, y) 7→
∑n
j=1 λjxjyj tiene las mismas propiedades. De hecho, como el alumno de esta asig-
natura sabe diagonalizar matrices y encontrar bases ortonormales de formas cuadráticas en Rn,
no debe tener dificultades en admitir que esencialmente, todas las formas bilineales definidas
positivas son de esta forma, en el sentido siguiente: B es una forma bilineal simétrica defi-
nida positiva en Rn si y sólo si existen números positivos λ1, ..., λn y un isomorfismo lineal
A : Rn → Rn con detA = 1 tal que B(x, y) = J(Ax,Ay), donde J(x, y) =
∑n
j=1 λjxjyj .
Definición 1.2. Se dice que dos vectores x, y ∈ Rn son ortogonales (o perpendiculares) si
〈x, y〉 = 0, y en este caso escribimos x ⊥ y. Si A es un subconjunto de Rn, se define su
complemento ortogonal como
A⊥ = {x ∈ Rn : ∀a ∈ A x ⊥ a}.
Algunas propiedades de esta operación conjuntista son:
1. Si A ⊆ B entonces B⊥ ⊆ A⊥.
2. A⊥ es un subespacio vectorial de Rn.
3. [A]⊥ = A⊥, donde [A] denota la envoltura lineal de A.
4. Para todo subespacio W de Rn se tiene que dimW + dimW⊥ = n, y Rn = W ⊕W⊥.
5. [A] = (A⊥)⊥.
Definición 1.3. En Rn se define la norma euclidea, asociada al producto escalar 〈·, ·〉, como
‖x‖ =
√
〈x, x〉 =
( n∑
j=1
x2j
)1/2
para cada x ∈ Rn.
Proposición 1.2. La norma euclidea tiene las siguientes propiedades, para todos los x, y, z ∈
Rn, λ ∈ R:
1. ‖x‖ ≥ 0, y ‖x‖ = 0 si y sólo si x = 0;
2. ‖λx‖ = |λ|‖x‖;
3. (desigualdad triangular) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖;
4. (desigualdad de Cauchy-Schwarz) |〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖.
9
Demostración. La demostración de las propiedades 1 y 2 es inmediata. La propiedad triangular
no es obvia pero se deduce fácilmente de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, que a su vez se
prueba como sigue. Por la bilinealidad del producto escalar, y por la propiedad 1, para todo
α ∈ R tenemos que
0 ≤ 〈x+ αy, x+ αy〉 = ‖x‖2 + 2α〈x, y〉+ α2‖y‖2;
entonces, suponiento y 6= 0 (la desigualdad es obvia en este caso) y tomando
α = −〈x, y〉
‖y‖2
(que no es otra cosa que el valor de α que minimiza el segundo miembro de la desigualdad de
arriba, visto como una función de α), obtenemos que
‖x‖2 − 〈x, y〉
2
‖y‖2
≥ 0,
lo que nos da la desigualdad deseada. La desigualdad triangular se deduce ahora directamente
de:
‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + 2〈x, y〉+ ‖y‖2 ≤ ‖x‖2 + 2‖x‖‖y‖+ ‖y‖2 =
(
‖x‖+ ‖y‖
)2
.
La norma euclidea es el instrumento que usaremos casi siempre a lo largo del curso para
medir longitudes de vectores (o distancias entre puntos).
Definición 1.4. Dado un vector x de Rn, definimos su longitud como el número ‖x‖. Si a, b
son puntos de Rn, definimos la distancia entre a y b como la longitud del segmento que los une,
esto es, ‖b− a‖.
Las propiedades 1, 2 y 3 de la Proposición anterior son lo suficientemente útiles e importan-
tes como para abstraer la clase de funciones que las satisfacen y darles un nombre.
Definición 1.5. Se dice que una aplicación ‖ · ‖ : Rn → [0,∞) es una norma en el espacio
vectorialRn si satisface las siguientes propiedades:
1. ‖x‖ > 0 si x 6= 0
2. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖
3. ‖λx‖ = |λ|‖x‖
para todo x, y ∈ Rn, λ ∈ R.
Como ejemplos típicos de normas en Rn pueden citarse la norma euclidea definida más
arriba, la norma del máximo,
‖x‖∞ = máx{|xi| : i = 1, ..., n},
y más en general las normas p, definidas por
‖x‖p =
( n∑
j=1
|xj|p
)1/p
10 CAPÍTULO 1. MÉTRICAS, NORMAS Y PRODUCTOS ESCALARES
para 1 ≤ p <∞.1
En la teoría de este curso usaremos solamente las normas ‖ · ‖2, ‖ · ‖1 y ‖ · ‖∞ y, sobre todo,
la euclidea, que es la que nos da la distancia natural en Rn.
El alumno podría preguntarse qué interés tiene el considerar normas y distancias que no son
naturales en un curso elemental, como no sea el de abultar la teoría o poner a prueba su capaci-
dad de entendimiento. Una de las razones más importantes es que, incluso a este nivel, consti-
tuyen un valioso instrumento técnico: en diversas demostraciones se realizarán acotaciones que
pueden resultar evidentes para las normas ‖ · ‖1, o ‖ · ‖∞, o incluso para alguna diferente de
estas, pero no tanto para la norma euclidea, y después, usando el hecho de que todas las normas
en Rn son equivalentes (en el sentido precisado más abajo, ver la Definición 1.8 y el Teorema
1.3) podrán obtenerse las desigualdades buscadas para la norma euclidea. Además, la norma
‖ · ‖∞, pese a no ser la que da la distancia natural en Rk (o más bien precisamente por ello) es la
más adecuada para el tratamiento del producto cartesiano de conjuntos de Rn y Rn identificado
como un subconjunto de Rn+m (ver el problema 1.10).
Definición 1.6. Asociada a cada norma ‖ · ‖ en Rn podemos considerar, para cada x ∈ Rn y
cada r > 0, la bola abierta de centro x y radio r, definida como
B‖·‖(x, r) = B(x, r) := {y ∈ Rn : ‖y − x‖ < r},
y la bola cerrada de centro x y radio r,
B‖·‖(x, r) = B(x, r) := {y ∈ Rn : ‖y − x‖ ≤ r}.
Esta terminología adquirirá mayor transparencia en el Capítulo 3, donde en particular se ve-
rá que las bolas abiertas son subconjuntos abiertos de Rn, y las bolas cerradas son cerrados.
También definimos la esfera de centro x y radio r como la diferencia entre la bola cerrada y la
abierta con el mismo centro y radio, es decir,
S(x, r) := {y ∈ Rn : ‖y − x‖ = r}.
Definición 1.7. Se dirá que un conjunto A ⊂ Rn está acotado cuando existe una bola (con
radio suficientemente grande) que lo contiene. Equivalentemente, A está acotado en Rn si el
subconjunto {‖a‖ : a ∈ A} de R está acotado en R.
Ejemplo 1.1. Hacer un dibujo de B‖·‖(0, 1), donde ‖ · ‖ es cada una de las normas ‖ · ‖1, ‖ · ‖2,
y ‖ · ‖∞ del plano R2, comparando unas con otras.
Conviene observar que la definición de norma 1.5 tiene sentido en cualquier espacio vecto-
rial X (no necesariamente isomorfo a Rn). Por ejemplo, en X = C[0, 1], el espacio vectorial de
todas las funciones continuas f : [0, 1]→ R, puede definirse la norma
‖f‖∞ = sup{|f(t)| : t ∈ [0, 1]} = máx{|f(t)| : t ∈ [0, 1]}
(compruébese que esta fórmula define efectivamente una norma en X). En este caso X no
es isomorfo a ningún espacio Rn porque X es un espacio vectorial de dimensión infinita (no
admite ninguna base finita).
1En el siguiente capítulo recordaremos algunas desigualdades importantes que permiten probar fácilmente que
estas funciones son, en efecto, normas.
11
Definición 1.8. Se dice que dos normas ‖ · ‖ y ρ de un espacio vectorial X son equivalentes si
existen M,m > 0 tales que
m‖x‖ ≤ ρ(x) ≤M‖x‖
para todo x ∈ X . Geométricamente esto significa que
Bρ(x,mr) ⊆ B‖·‖(x, r) ⊆ Bρ(x,Mr)
para cada x ∈ X , r > 0.
Ejemplo 1.2. Demostrar que las normas ‖·‖1, ‖·‖2 y ‖·‖∞ de R2 son equivalentes. Generalizar
el resultado a Rn, observando que los números M y m que dan la equivalencia de las normas
dependen de la dimensión n.
El siguiente resultado es muy importante ya que nos permite realizar acotaciones con res-
pecto a una norma cualquiera en Rn y, automáticamente, obtener otra acotación del mismo tipo
para la norma euclidea o cualquier otra que se desee.
Teorema 1.3. Todas las normas de Rn son equivalentes.
En la demostración de este resultado se usan argumentos de continuidad, por lo que la
aplazamos hasta el capítulo 5. Por supuesto, habrá que tener cuidado de no usar este teorema
en la prueba de los resultados en los que a su vez descansa dicha demostración (esencialmente,
que una función continua en un conjunto compacto alzanza un máximo absoluto), pero como
veremos no hay ningún problema. De hecho puede suponerse que todo el desarrollo teórico de
la asignatura hasta el capítulo 5 se refiere exclusivamente a una o varias normas equivalentes
fijas (por ejemplo la euclidea, o bien ‖ · ‖1 o ‖ · ‖∞, que ya sabemos que son equivalentes por el
Ejemplo 1.2), y llegado a ese punto y demostrado este teorema, extender todos los resultados al
caso en que la norma considerada sea cualquier otra.
Se deduce inmediatamente, por ejemplo, que el hecho de que un subconjunto A de Rn esté
acotado no depende de la norma en cuestión.
Como curiosidad mencionaremos que este resultado no es cierto en espacios vectoriales nor-
mados de dimensión infinita: en todo tal espacio (por ejemplo en C[0, 1], ver el ejercicio 1.12)
existen siempre normas que no son equivalentes, y por tanto también conjuntos que son acota-
dos para unas normas pero no para otras. Por tanto, un espacio de vectorial X es de dimensión
finita si y sólo si todas las normas en X son equivalentes.
Ya hemos dejado ver que toda norma ‖ · ‖ lleva aparejada una noción de distancia entre los
puntos de un espacio vectorial X , sin más que definir la distancia entre dos puntos x, y ∈ X
como d(x, y) = ‖x− y‖. Las siguientes propiedades se demuestran inmediatamente a partir de
la definición y de las propiedades de las normas. Para todos x, y, z, a ∈ X se tiene que:
1. d(x, y) > 0 si x 6= y, y d(x, x) = 0;
2. d(x, y) = d(y, x);
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Estas propiedades son importantes y dan lugar, a su vez, a una nueva noción de proximi-
dad entre puntos que tiene sentido, incluso, en conjuntos que no tienen presupuesta ninguna
estructura lineal.
12 CAPÍTULO 1. MÉTRICAS, NORMAS Y PRODUCTOS ESCALARES
Definición 1.9. Se dice que (X, d) es un espacio métrico si X es un conjunto no vacío con una
una función, llamada distancia (o métrica, d : X ×X → [0,∞) que tiene las propiedades 1, 2
y 3 anteriores.
Por ejemplo, en el conjunto Z puede definirse la distancia d(n,m) = |n−m| de modo que
(Z, d) es un espacio métrico.
Definición 1.10. Si (X, d) es un espacio métrico, definimos la bola abierta de centro x ∈ X y
radio r > 0 como B(x, r) = {y ∈ X : d(y, x) < r}, y la bola cerrada por B(x, r) = {y ∈ X :
d(y, x) ≤ r}. Si A es un subconjunto no vacío de X , se define la distancia de un punto x ∈ X
al conjunto A por
d(x,A) = ı́nf{d(x, a) : a ∈ A}.
Para A,B subconjuntos no vacíos de X , la distancia entre A y B se define por
d(A,B) = ı́nf{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}.
Llamamos diámetro de A al supremo de las distancias entre dos puntos cualesquiera de A, es
decir,
diam(A) := sup{d(x, y) : x, y ∈ A}
Se dice que un subconjunto A de X está acotado si existe una bola que lo contiene, lo que
equivale a que diam(A) <∞.
Como en el caso de normas, podemos definir distancias equivalentes en un espacio métrico.
Si X es un conjunto en el que tenemos definidas dos distancias d1 y d2, diremos que d1 y d2
son métricas equivalentes si para cada x ∈ X y r > 0, existen r1, r2 > 0 tales que Bd1(x, r1) ⊆
Bd2(x, r), y también Bd2(x, r2) ⊆ Bd1(x, r). Es importante observar que los números r1, r2,
incluso para un r fijo, en general dependen del punto x. Si no existe tal dependencia del punto
x (es decir, si dado r > 0 existen r1, r2 tales que los contenidos anteriores se cumplen para todo
x ∈ X), diremos que d1 y d2 son uniformemente equivalentes.2 Esto es lo mismo que decir que
para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:
d1(x, y) < δ =⇒ d2(x, y) < ε para todos x, y ∈ X,
y que
d2(x, y) < δ =⇒ d1(x, y) < ε para todos x, y ∈ X.
Por otra parte diremos que d1 y d2 son fuertemente equivalentessi existen constantes α, β >
0 tales que, para todos x, y ∈ X , se tiene
α d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ β d1(x, y).
Equivalentemente, para todo r > 0 y todo x ∈ X , se tiene Bd1(x, r/β) ⊆ Bd2(x, r), y
Bd2(x, αr) ⊆ Bd1(x, r). En particular dos métricas fuertemente equivalentes son uniforme-
mente equivalentes, y por tanto también equivalentes.
Ejemplo 1.3. En el conjunto X = R puede definirse la función
d(x, y) = |arctg(x)− arctg(y)|
de modo que (R, d) es un espacio métrico en el que todo subconjunto (¡incluido el propio R!)
está acotado.
2Cuando lleguemos al capítulo 5, resultará evidente que esta condición también equivale a decir que la apli-
cación I : (X, d1) → (X, d2) definida por I(x) = x es uniformemente continua y tiene inversa uniformemente
continua.
1.1. PROBLEMAS 13
Si (X, dX) e (Y, dY ) son espacios métricos, puede dotarse al producto cartesiano X × Y de
una estructura de espacio métrico de varias maneras. Por ejemplo, puede definirse
d∞
(
(x, y), (z, w)
)
= máx{dX(x, z)dY (y, w)}.
Es inmediato comprobar que d∞ es una distancia en X×Y . También podríamos haber definido
otras distancias más o menos naturales en X × Y . Por ejemplo
d1
(
(x, y), (z, w)
)
= dX(x, z) + dY (y, w),
o incluso
d2
(
(x, y), (z, w)
)
=
(
dX(x, z)
2 + dY (y, w)
2
)1/2
.
Aunque en este contexto la métrica d∞ es la más usual y la que tomaremos como definición de
métrica producto, salvo mención explícita en sentido contrario, puede comprobarse que las tres
distancias son uniformemente equivalentes (ver el Problema 1.22).
Observación 1.4. Es natural preguntarse si es cierto un teorema análogo al 1.3 para el caso de
espacios métricos. La respuesta es que no: existen distancias en R que no son equivalentes a
la usual (inducida por el valor absoluto). Una manera de verlo es considerar en R la distancia
discreta D definida por D(x, y) = 1 si x 6= y, y D(x, y) = 0 si x = y. Es fácil comprobar que
D es una distancia que no es equivalente a la usual en R (la bola de centro 0 y radio 1/2 para la
distancia D se reduce al punto 0, y por tanto no contiene ninguna bola para la distancia usual).
1.1. Problemas
Problema 1.1. Si ‖ · ‖ es una norma en un espacio vectorial X , demostrar que∣∣‖x‖ − ‖y‖∣∣ ≤ ‖x− y‖
para todo x, y ∈ X . ¿Cuál es el análogo de esta propiedad para distancias?
Problema 1.2. Comprobar que las siguientes expresiones definen normas en R2:
1. ‖(x, y)‖a = 13(|x|+ |y|) +
2
3
(x2 + y2)1/2;
2. ‖(x, y)‖b = (x2 + xy + y2)1/2
Indicación: para el segundo caso, puede ser aconsejable completar cuadrados dentro de la raiz
y observar que ‖(x, y)‖b = ‖T (x, y)‖2, donde T es un automorfismo lineal de R2.
Problema 1.3. Si T es un automorfismo lineal de Rn y ‖ · ‖ es una norma cualquiera de Rn,
demostrar que la expresión ρ(x) = ‖T (x)‖ define una norma en Rn.
Problema 1.4. Si ‖ · ‖ es la norma euclidea de Rn, demostrar que:
1. (Ley del paralelogramo) 2‖x‖2 + 2‖y‖2 = ‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2;
2. ‖x+ y‖‖x− y‖ ≤ ‖x‖2 + ‖y‖2;
3. (Identidad de polarización) 4〈x, y〉 = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2.
14 CAPÍTULO 1. MÉTRICAS, NORMAS Y PRODUCTOS ESCALARES
Problema 1.5. Si ‖ · ‖ es una norma en Rn que cumple la ley del paralelogramo, probar que
proviene de un producto escalar. Indicación: definir el candidato a producto escalar a partir de
la identidad de polarización.
Problema 1.6. En la desigualdad de Cauchy-Schwarz, demostrar que la igualdad se tiene si y
sólo si los vectores x e y son proporcionales.
Problema 1.7. Si A = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x+ y − z = 0, y + z − w = 0}, hallar A⊥.
Problema 1.8. Probar que si v1, ..., vn son vectores no nulos y ortogonales dos a dos (es decir,
vi ⊥ vj si i 6= j), entonces los vectores v1, ..., vn son linealmente independientes.
Problema 1.9. En el espacio vectorial C[0, 1] de todas las funciones continuas en el intervalo
[0, 1], definamos
〈f, g〉 =
∫ 1
0
f(t)g(t)dt.
Comprobar que esta fórmula define un producto escalar en C[0, 1]. Exhibir dos funciones no
nulas y ortogonales entre sí. Después construir una sucesión de funciones no nulas (fn) en
C[0, 1] tales que fn ⊥ fm si n 6= m. Concluir que el espacio vectorial C[0, 1] tiene dimensión
infinita.
Problema 1.10. Identificando Rn ×Rm con Rn+m y usando la norma ‖ · ‖∞ en estos espacios,
pruébese que para cada (x, y) ∈ Rn+m y cada r > 0 se tiene que
B∞(x, r)×B∞(y, r) = B∞
(
(x, y), r
)
.
Problema 1.11. Dibujar una función continua f cualquiera en el intervalo [0, 1]. Después, di-
bujar la bola cerrada de centro f y radio r > 0 en el espacio normado (C[0, 1], ‖ · ‖∞).
Problema 1.12. Sea ‖ · ‖2 la norma definida a través del producto escalar del problema 1.9 en
C[0, 1], esto es,
‖f‖2 =
(∫ 1
0
f(t)2dt
)1/2
,
y consideremos también la norma ya definida anteriormente en este espacio,
‖f‖∞ = sup{|f(t)| : t ∈ [0, 1]}.
Probar que las normas ‖ · ‖2 y ‖ · ‖∞ no son equivalentes en C[0, 1] (y de paso nótese que
esto proporciona otra demostración de que C[0, 1] tiene dimensión infinita, vía el Teorema 1.3).
Indicación: construir una sucesión de funciones (fn) ⊂ C[0, 1] que esté acotada para la norma
‖ · ‖2 pero no para ‖ · ‖∞.
Problema 1.13. SeaE un espacio vectorial cualquiera de dimensión finita. Construir una norma
en E.
Problema 1.14. Construir una métrica en el conjunto X = N × N de modo que todos los
subconjuntos de X estén acotados.
Problema 1.15. Estudiar si los siguientes subconjuntos de Rn están o no acotados:
A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1, z = x2 − y2};
B = {(x, y) ∈ R2 : y = sin 1
x
, x 6= 0};
1.1. PROBLEMAS 15
C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 − y2 = 1, z + x+ y = 0}.
Problema 1.16. Estudiar cuáles de las siguientes expresiones definen métricas en X:
1. d(x, y) = |x2 − y2|, X = R;
2. d(n,m) = 1
n
+ 1
m
si n 6= m, y d(n,m) = 0 si n = m, X = N;
3. X = RN, el conjunto de sucesiones de números reales,
d(x, y) =
∞∑
n=1
|xn − yn|
2n
(
1 + |xn − yn|
) .
Problema 1.17. Demostrar que la función distancia de un espacio métrico X satisface que
|d(x, z)− d(y, z)| ≤ d(x, y)
para todo x, y, z ∈ X
Problema 1.18. Más en general, si A es un subconjunto no vacío de un espacio métrico X ,
demostrar que
|d(x,A)− d(y, A)| ≤ d(x, y)
para todo x, y ∈ X . Se dice entonces que la función x ∈ X 7→ d(x,A) es 1-Lipschitz.
Problema 1.19. Si ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2 son dos normas en un espacio vectorial X , denotemos por
d1 y d2 las distancias que dichas normas inducen. Probar que las normas ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2 son
equivalentes si y sólo si las distancias d1 y d2 son equivalentes.
Problema 1.20. Probar que la unión finita de subconjuntos acotados de X es acotada en X . En
particular todo conjunto finito es acotado.
Problema 1.21. Se dice que dos espacios métricos (X1, d1) y (X2, d2) son isométricos si existe
una biyección f : X1 → X2 tal que d(f(x), f(y)) = d(x, y) para todo x, y ∈ X1. Si f no
es biyectiva se habla de una inyección isométrica de X1 en X2. Dos espacios isométricos son
indistinguibles desde el punto de vista métrico, y por tanto pueden identificarse cuando ello
resulta conveniente, en problemas de naturaleza métrica, claro está.
Probar que (C, |·|) y (R2, ‖·‖2) son isométricos. Demostrar también que Rn 3 x→ (x, 0) ∈
Rn+m es una inyección isométrica cuando se consideran las distancias generadas por las normas
‖ · ‖1, ‖ · ‖2 o ‖ · ‖∞ (¿será esto cierto para cualquier norma?). Dar otros ejemplos de espacios
isométricos.
Problema 1.22. Comprobar que las distancias d∞, d1 y d2 definidas en el espacio producto
X × Y son fuertememente equivalentes.
Problema 1.23. Demostrar que dos normas en un espacio vectorial son equivalentes si y sólo
si las distancias que definen son fuertememente equivalentes.
16 CAPÍTULO 1. MÉTRICAS, NORMAS Y PRODUCTOS ESCALARES
Capítulo 2
Algunas desigualdades importantes
En este capítulo demostraremos algunas desigualdades clásicas debidas a Jensen, Young,
Hölder y Minkowski, que resultarán útiles en esta asignatura y en muchas otras.
Comenzamos con una propiedad de las funciones convexas que nos servirá para deducir la
desigualdad de Jensen.
Proposición 2.1. Si h : (c, d) ⊆ R→ R es convexa entoncespara todo x0 ∈ (c, d) existe ξ ∈ R
tal que h(x) ≥ h(x0) + ξ(x− x0) para todo x ∈ (c, d).
Demostración. Como la función h es convexa, se tiene, para todo x, y, t, s ∈ (c, d) con s < t <
x0 < x < y, que
f(x0)− f(s)
x0 − s
≤ f(x0)− f(t)
x0 − t
≤ f(x)− f(t)
x− t
≤ f(x)− f(x0)
x− x0
≤ f(y)− f(x0)
y − x0
.
Estas desigualdades implican que la función (d, x0) 3 x 7→ f(x)−f(x0)x−x0 es creciente y es mayor o
igual que la función (c, x0) 3 t 7→ f(x0)−f(t)x0−t , que también es creciente. Se sigue que existen los
límites ĺımx→x−0
h(x)−h(x0)
x−x0 y ĺımx→x+0
h(x)−h(x0)
x−x0 , y que
ĺım
x→x−0
h(x)− h(x0)
x− x0
≤ ĺım
x→x+0
h(x)− h(x0)
x− x0
.
El primero de los límites es la pendiente de una recta tangente por la izquierda en x0 a la gráfica
de h, y el segundo es la pendiente de una recta tangente por la derecha en x0 a la misma gráfica.
Si tomamos ξ como cualquier número entre ĺımx→x−0
h(x)−h(x0)
x−x0 y ĺımx→x+0
h(x)−h(x0)
x−x0 , tenemos
que la recta de pendiente ξ que pasa por el punto (x0, h(x0)) toca a la gráfica de h en (x0, h(x0))
y queda por debajo de dicha gráfica. Es decir, tenemos que h(x) ≥ h(x0) + ξ(x−x0) para todo
x ∈ (c, d).
Teorema 2.2 (Desigualdad de Jensen). Probar que si f es una función integrable en (a, b) y
h : R→ R es convexa entonces se tiene que
h
(
1
b− a
∫ b
a
f(t)dt
)
≤ 1
b− a
∫ b
a
h(f(t))dt. (2.1)
Demostración. Consideremos x0 = 1b−a
∫ b
a
f(s)ds. Por la proposición anterior sabemos que
existe ξ ∈ R tal que h(x) ≥ h(x0) + ξ(x − x0) para todo x ∈ R. Tomando x de la forma
x = f(t) obtenemos entonces
h(f(t)) ≥ h
(
1
b− a
∫ b
a
f(t)dt
)
+ ξ
(
f(t)− 1
b− a
∫ b
a
f(s)ds
)
17
18 CAPÍTULO 2. ALGUNAS DESIGUALDADES IMPORTANTES
para todo t ∈ (a, b). Integrando ahora en (a, b) deducimos que∫ b
a
h(f(t))dt ≥ (b− a)h
(
1
b− a
∫ b
a
f(t)dt
)
+
∫ b
a
ξ
(
f(t)− 1
b− a
∫ b
a
f(s)ds
)
dt
= (b− a)h
(
1
b− a
∫ b
a
f(t)dt
)
,
de donde se desprende la desigualdad deseada.
Proposición 2.3 (Desigualdad de Young). Dados 1 < p, q < ∞ tales que 1
p
+ 1
q
= 1, se tiene
que para cualesquiera x, y > 0,
xy ≤ x
p
p
+
yq
q
.
Demostración. Observemos que la función R 3 x 7→ ex ∈ R es convexa. Entonces, como
1/p+ 1/q = 1, tenemos
xy = e
log(xp)
p
+ log(y
q)
q ≤ 1
p
elog(x
p) +
1
q
elog(y
q) =
xp
p
+
yq
q
.
Teorema 2.4 (Desigualdad de Hölder). Sean f, g : (a, b) → R funciones que son continuas
salvo en una cantidad finita de puntos, y p, q números reales tales que 1 < p, q < ∞, y 1 =
1
p
+ 1
q
. Supongamos que las integrales
∫ b
a
|f(t)|pdt y
∫ b
a
|g(t)|qdt son finitas. Entonces se tiene
que ∫ b
a
|f(t)g(t)|dt ≤
(∫ b
a
|f(t)|pdt
) 1
p
(∫ b
a
|g(t)|qdt
) 1
q
. (2.2)
Demostración. Si alguna de las integrales
∫ b
a
|f(t)|pdt o
∫ b
a
|g(t)|qdt es cero entonces necesa-
riamente la correspondiente función es cero salvo a lo sumo en una cantidad finita de puntos,
de lo que se deduce que t→ f(t)g(t) también lo es, y por tanto la desigualdad resulta trivial.
Ahora, si
∫ b
a
|f(t)|pdt 6= 0 6=
∫ b
a
|g(t)|qdt, podemos usar la desigualdad de Young con
x := |f(t)|/
(∫ b
a
|f(s)|pds
)1/p
, y := |g(t)|/
(∫ b
a
|g(s)|qds
)1/q
, obteniendo que
|f(t)g(t)|(∫ b
a
|f(s)|pds
)1/p (∫ b
a
|g(s)|qds
)1/q ≤ 1p |f(t)|p∫ b
a
|f(s)|pds
+
1
q
|f(t)|q∫ b
a
|g(s)|qds
,
lo que al integrar en (a, b) nos da∫ b
a
|f(t)g(t)|(∫ b
a
|f(s)|pds
)1/p (∫ b
a
|g(s)|qds
)1/q ≤ 1p + 1q = 1,
de donde se deduce la desigualdad del enunciado.
Teorema 2.5 (Desigualdad de Minkowski). Sean f, g : (a, b)→ R funciones que son continuas
salvo en una cantidad finita de puntos, y p un número tal que 1 ≤ p <∞. Supongamos que las
integrales
∫ b
a
|f |p y
∫ b
a
|g|p son finitas. Entonces se tiene que(∫ b
a
|f + g|p
)1/p
≤
(∫ b
a
|f |p
)1/p
+
(∫ b
a
|g|p
)1/p
.
19
Demostración. Como en el caso p = 1 la desigualdad es trivial, podemos supponer p > 1. Sea
q = p/(p− 1) (de modo que se tiene 1
p
+ 1
q
= 1). Usando la desigualdad de Hölder tenemos∫ b
a
|f + g|p ≤
∫ b
a
|f + g|p−1 (|f |+ |g|) =
∫ b
a
|f + g|p−1|f |+
∫ b
a
|f + g|p−1|g|
≤
∫ b
a
|f + g|p−1|f |+
∫ b
a
|f + g|p−1|g| =
∫ b
a
|f + g|p/q|f |+
∫ b
a
|f + g|p/q|g|
≤
(∫ b
a
|f + g|p
)1/q (∫ b
a
|f |p
)1/p
+
(∫ b
a
|f + g|p
)1/q (∫ b
a
|g|p
)1/p
=
(∫ b
a
|f + g|p
)(p−1)/p((∫ b
a
|f |p
)1/p
+
(∫ b
a
|g|p
)1/p)
=
(∫ b
a
|f + g|p
)−1/p((∫ b
a
|f |p
)1/p
+
(∫ b
a
|g|p
)1/p)
,
de donde se desprende la desigualdad del enunciado.
Con las mismas demostraciones, o bien aplicando los resultados anteriores a funciones es-
calonadas adecuadamente definidas, se deducen las versiones discretas de las desigualdades de
Hölder y Minkowski.
Teorema 2.6. Sean p ∈ (1,∞), y q = p(p−1). Para cualesquiera vectores a = (a1, ..., an), b =
(b1, ..., bn) ∈ Rn se tiene que:
n∑
j=1
|ajbj| ≤
(
n∑
j=1
|aj|p
)1/p( n∑
j=1
|bj|q
)1/q
,
y que (
n∑
j=1
|aj + bj|p
)1/p
≤
(
n∑
j=1
|aj|p
)1/p
+
(
n∑
j=1
|bj|p
)1/p
.
También, pasando al límite cuando n → ∞, o volviendo a aplicar las desigualdades in-
tegrales con funciones escalonadas adecuadamente definidas, se deducen las correspondientes
desigualdades para sumas infinitas
Teorema 2.7. Sean p ∈ (1,∞), y q = p(p − 1). Para cualesquiera sucesiones de números
reales o complejos (aj)j∈N, (bj)j∈N se tiene que:
∞∑
j=1
|ajbj| ≤
(
∞∑
j=1
|aj|p
)1/p( ∞∑
j=1
|bj|q
)1/q
,
y que (
∞∑
j=1
|aj + bj|p
)1/p
≤
(
∞∑
j=1
|aj|p
)1/p
+
(
∞∑
j=1
|bj|p
)1/p
.
20 CAPÍTULO 2. ALGUNAS DESIGUALDADES IMPORTANTES
Capítulo 3
Conceptos topológicos básicos
A lo largo de este capítulo supondremos que X denota el espacio Rn o, más en general,
cualquier espacio métrico. En el caso de que (X, ‖ · ‖) sea un espacio normado, d designará
la distancia asociada a la norma ‖ · ‖. Todos los resultados y definiciones de este capítulo son,
por tanto, válidos en cualquier espacio métrico. Aunque la gran mayoría de los ejemplos y
ejercicios se referirán al espacio Rn (y de hecho se aconsejará al alumno que para fijar ideas
piense siempre en los casos X = R2 o X = R3), por simplicidad, y para evitar repeticiones
en ulteriores desarrollos teóricos (como por ejemplo al definir abiertos y cerrados relativos a un
subconjunto de Rn), resulta conveniente definir los conceptos topológicos básicos en cualquier
espacio métrico (X, d). Además la teoría de espacios métricos que desarrollaremos en este
capítulo y los siguientes será de utilidad al alumno en futuras asignaturas de Análisis del grado.
Definición 3.1. Se dice que un subconjunto U de X es abierto si, para cada punto x ∈ U , existe
r > 0 tal que B(x, r) ⊆ U . En otras palabras, U es abierto si es unión de bolas abiertas.
Se dice que un subconjunto F de X es cerrado si su complementario X \ F es abierto.
Ejemplo 3.1. Toda bola abierta de X es un abierto, y toda bola cerrada es un cerrado.
Es importante observar que el r de la definición depende de cada punto x, y en general se
hará cada vez más pequeño cuanto más próximo esté x de la frontera de U . Considérese, por
ejemplo, el caso de una bola abierta, o el del complementario de una recta en R2.
Proposición 3.1. La unión de una familia cualquiera de subconjuntos abiertos de X es un
abierto. La intersección de una familia finita de abiertos es un abierto.
Demostración. Puesto que un conjunto es abierto si y sólo si es unión (arbitraria) de bolas
abiertas, la primera propiedad es evidente. Para demostrar la segunda, sean A1, ..., Am sub-
conjuntos abiertos de un esacio métrico (X, d). Dado x ∈
⋂m
j=1Aj , se tiene que x ∈ Aj
para cada j = 1, ...,m. Puesto que los conjuntos Aj son abiertos, para cada j ∈ {1, ..., n}
existe rj > 0 tal que B(x, rj) ⊆ Aj . Definamos r = mı́n{r1..., rm}. Es claro que r > 0 y
B(x, r) ⊆ B(x, rj) ⊆ Aj para cada j ∈ {1, ...,m}, luego también B(x, r) ⊆
⋂m
j=1 Aj .
La condición de finitud en la segunda parte de la proposición anterior es esencial en general:
considérese el ejemplo de una familia de bolas abiertas de centro el origen del plano R2 y de
radio 1/n, con n ∈ N, cuya intersección es {0}, que no es abierto (¿porqué?). Lo mismo cabe
observar de la segunda parte de la proposición siguiente.
Proposición 3.2. La intersección de una familia cualquiera de subconjuntos cerrados de X es
un cerrado. La unión de una familia finita de cerrados es un cerrado.
21
22 CAPÍTULO 3. CONCEPTOS TOPOLÓGICOS
Demostración. Se deduce de la proposición anterior tomando complementarios. Los detalles se
dejan como ejercicio para el alumno.
Debe observarse también que tanto el propio X como el subconjunto vacío ∅ son a la vez
abiertos y cerrados de X .
Proposición 3.3. Consideremos un conjunto X con dos métricas d1 y d2. Las distancias d1 y
d2 son equivalentes si y sólo si definen los mismos conjuntos abiertos.
Demostración. Supongamos primero que d1 y d2 son distancias equivalentes en X . Sea A un
conjunto abierto en (X, d1). Entonces para cada x ∈ A existe r1x > 0 tal que Bd1(x, r1x) ⊆
A. Como las distancias d1, d2 son equivalentes, para cada una de las bolas Bd1(x, r
1
x) (en la
distancia d1) existe un r2x > 0 tal que la bola Bd2(x, r
2
x) (en la distancia d2) está contenida en
Bd1(x, r
1
x). Por tanto tenemos Bd2(x, r
2
x) ⊆ Bd1(x, r1x) ⊆ A para cada x ∈ A, lo que implica
que A es abierto en (X, d2). Análogamente se ve que si A es abierto en (X, d2) entonces A es
abierto en (X, d1). Por consiguiente los espacios métricos (X, d1) y (X, d2) poseen los mismos
abiertos.
Recíprocamente, supongamos que (X, d1) y (X, d2) tienen los mismos abiertos. Como una
bola abierta Bd1(x, r1) es un conjunto abierto en (X, d1), y por tanto también en (X, d2), y
x ∈ Bd1(x, r1), existe r2 > 0 tal que Bd2(x, r2) ⊆ Bd1(x, r1). Análogamente, para cada bola
Bd2(x, s2) existe s1 > 0 tal que Bd1(x, s1) ⊆ Bd2(x, s2). Consiguientemente las distancias d1 y
d2 son equivalentes.
Como en Rn todas las normas son equivalentes, y por el ejercicio 1.19 sabemos que dos
normas son equivalentes si y sólo si inducen distancias equivalentes, se deduce inmediatamente
lo siguiente.
Corolario 3.4. La definición de conjunto abierto en Rn no depende de la norma empleada,
es decir, diferentes normas en Rn dan lugar a los mismos conjuntos abiertos (y también los
mismos cerrados).
Definición 3.2. Se dice que un subconjunto W de X es un entorno de un punto x ∈ X si
existe un abierto U de X tal que x ∈ U ⊆ W . O lo que es lo mismo, si existe rx > 0 tal que
B(x, rx) ⊆ W .
Ejercicio 3.1. Probar que un conjunto es abierto si y sólo si es entorno de cada uno de sus
puntos.
Ejercicio 3.2. Demostrar que la intersección de una familia finita de entornos de un punto x
sigue siendo entorno de x.
Aunque en este curso no se hablará de espacios topológicos, merece la pena reseñar que
siempre queX es un conjunto no vacío en el que se ha destacado una familia τ de subconjuntos,
llamados por definición abiertos, que satisfacen la Proposición 3.1, y de modo que tanto X
como ∅ están en la familia τ , se dice que (X, τ) es un espacio topológico, y de τ se dice que es
una topología en X .
Pasamos ahora a estudiar los conceptos de adherencia e interior.
Definición 3.3. Se dice que un punto x es adherente a un subconjunto A de X si todo entorno
de x corta a A, es decir, si para todo r > 0 existe y ∈ A tal que d(y, x) < r. Se define la
adherencia de A, y se denota A, como el conjunto de todos los puntos adherentes a A.
23
Por ejemplo, (0, 0) es un punto adherente del conjuntoA = {(x, y) ∈ R2 : y = 1/n, n ∈ N}
en el plano.
Ejercicio 3.3. Probar que, para todo A ⊆ X , su adherencia A es un cerrado.
Definición 3.4. Se dice que un punto x es interior a un subconjunto A de X si A es entorno de
x, es decir, si existe r > 0 tal que B(x, r) ⊆ A. Se define el interior de A, y se denota int(A),
como el conjunto de todos los puntos interiores a A.
Por ejemplo, (1/2, 0) es un punto interior de {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1}.
Proposición 3.5. Sean A, B subconjuntos de X . Se tiene que:
1. int(A) ⊆ A.
2. Si A ⊆ B entonces int(A) ⊆ int(B).
3. A ⊆ A.
4. Si A ⊆ B entonces A ⊆ B.
5. El interior de A es el mayor abierto contenido en A, esto es,
int(A) =
⋃
{U ⊂ X : U abierto , U ⊆ A}.
6. X \ A = int(X \ A).
7. X \ A = X \ int(A).
8. La adherencia de A es el menor cerrado que contiene a A, es decir,
A =
⋂
{F ⊂ X : F cerrado , A ⊆ F}.
Demostración. (1), (2), (3) y (4) son evidentes a partir de la definición de interior y de ad-
herencia. Para probar (5), veamos primero que int(A) es abierto para todo conjunto A. Dado
cualquier x ∈ int(A), existe rx > 0 tal que B(x, r) ⊆ A. Como la bola B(x, rx) es abierta,
para cada y ∈ B(x, rx) tal que B(y, sy) ⊆ B(x, r) ⊆ A. Por tanto y ∈ int(A) para cada
y ∈ B(x, rx). Es decir, B(x, rx) ⊆ int(A), para cada x ∈ int(A). Luego
int(A) ⊆
⋃
x∈int(A)
B(x, rx) ⊆ int(A),
y por tanto
int(A) =
⋃
x∈int(A)
B(x, rx)
es abierto por ser unión de bolas abiertas. Ahora, como int(A) es abierto y está contenido en A,
es evidente que
int(A) ⊆
⋃
{U ⊂ X : U abierto , U ⊆ A}.
Por otro lado, si U es abierto, entonces por las definiciones de conjunto abierto y de interior es
evidente que U ⊆ int(U), y por tanto que int(U) = U . Luego, para todo abierto U con U ⊆ A,
se tiene U = int(U) ⊆ int(A), y por tanto
int(A) ⊇
⋃
{U ⊂ X : U abierto , U ⊆ A}.
24 CAPÍTULO 3. CONCEPTOS TOPOLÓGICOS
Esto prueba (5).
Las demostraciones de (6) y (7) son inmediatas. Finalmente (8) se demuestra fácilmente
a partir de (5), tomando complementarios y usando (6) y (7). Los detalles quedan a cargo del
lector.
Corolario 3.6. Un conjunto A es abierto si y sólo si A = int(A). Un conjunto C es cerrado si
y sólo si C = C. Además,
1. int(int(A)) = int(A);
2. C = C.
Demostración. En la demostración de la proposición anterior ya se ha visto que si A es abierto
entonces A = int(A); también se ha avisto que el interior de un conjunto es siempre abierto.
Por tanto es también claro que si A = int(A) entonces A es abierto. Considerando A = X \ C
y aplicando (6) y (7) de la proposición anterior y el hecho recién demostrado que A es abierto
si y sólo si A = int(A), deducimos que C es cerrado si y sólo si C = C.
Finalmente, como int(A) es siempre abierto, se deduce que int(int(A)) = int(A). Análoga-
mente, C = C.
Definamos ahora la frontera y la acumulación de un conjunto.
Definición 3.5. Se define la frontera de un subconjunto A de X como
∂A := A \ int(A) = A ∩X \ A.
Es decir, x ∈ ∂A si para todo r > 0 se tiene que B(x, r) ∩ A 6= ∅ 6= B(x, r) ∩ (X \ A).
Por ejemplo, si A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1} y B = {(x, y) ∈ R2 : x, y ∈ Q} entonces
∂A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}, y ∂B = R2.
Conviene notar que, como consecuencia inmediata de la definición, la frontera de un con-
junto es siempre un cerrado.
Definición 3.6. Se dice que x es un punto de acumulación de un subconjunto A de X si todo
entorno de x contiene un punto de A distinto de x, es decir, si para todo r > 0 se tiene B(x, r)∩
(A \ {x}) 6= ∅. Denotaremos el conjunto de todos los puntos de acumulación de A por A′.
Si x ∈ A y x no es punto de acumulación de A, se dice que x es un punto aislado de A.
Por ejemplo, el origen es punto de acumulación del conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 =
1/n2, n ∈ N}, que no tiene puntos aislados. Por otro lado, el conjunto N × N no tiene ningún
punto de acumulación en R2 y todos sus puntos son aislados. Por último, todos los puntos del
conjunto del plano C = {(n, n + 1/2m) : n,m ∈ N} son aislados, pero tiene infinitos puntos
de acumulación (a saber, C ′ = {(n, n) : n ∈ N}).
Proposición 3.7. Para todo A ⊂ X se tiene que A = A ∪ A′. De hecho la adherencia de A es
la unión de la acumulación de A con todos los puntos aislados de A.
En particular se tiene que un conjunto A es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos
de acumulación, es decir, si y solo si A′ ⊆ A.
Demostración. Por la definición es evidente que todo punto de acumulación de A es un punto
de adherencia de A, y que todo punto de A es adherente a A. Luego se tiene A ∪ A′ ⊆ A.
Por otro lado, si x ∈ A \ A′ entonces para algún r > 0 se tiene B(x, r) ∩ (A \ {x}) = ∅ y
B(x, r) ∩A 6= ∅, luego necesariamente x ∈ A. Hemos probado así que A= A ∪A′. Como los
puntos de A que no están en A′ son por definición puntos aislados de A, también se tiene que a
adherencia de A es la unión de la acumulación de A con todos los puntos aislados de A.
25
Definición 3.7. Si (X, d) es un espacio métrico e Y es un subconjunto no vacío de X , es
evidente que la distancia d de X , al restringirla a Y , sigue teniendo las propiedades 1, 2 y 3
de la definición 1.9. Luego (Y, d) tiene una estructura natural de espacio métrico. Se dice que
(Y, d) es un subespacio métrico de (X, d). Por consiguiente todas las definiciones y resultados
anteriores se aplican también al espacio (Y, d). En este contexto, si un subconjunto A de Y es
abierto en (Y, d), diremos que A es un abierto relativo a Y . Esto, en general, no quiere decir
que A sea abierto en X , como prueba el ejemplo siguiente.
Ejemplo 3.2. Sean X = R, Y = [0, 5), A = [0, 3). El conjunto A es un abierto relativo a Y ,
pero no es abierto en X .
Análogamente, se dice que un conjunto C es cerrado relativo a Y si C es cerrado en (Y, d).
Nuevamente, esto no implica en general que C sea un cerrado de X (¿por qué?). Podemos
definir de igual modo interior, adherencia, frontera y acumulación relativa de un subconjunto
de Y .
El siguiente resultado caracteriza los abiertos y cerrados relativos de un subespacio métrico
Y de X .
Proposición 3.8. Sea Y un subconjunto no vacío de un espacio métrico (X, d). Entonces
1. A es un abierto relativo a Y si y sólo si existe G abierto en X tal que A = G ∩ Y .
2. C es un cerrado relativo a Y si y sólo si existe F cerrado en X tal que C = F ∩ Y .
Demostración. En efecto, si A = G ∩ Y , con G abierto en X , es evidente que A es abierto
en Y . Recíprocamente, si A es abierto relativo a Y , para cada y ∈ A existe ry > 0 tal que
BY (y, ry) ⊂ A. Definamos
G =
⋃
y∈A
BX(y, ry),
entonces es claro que G es abierto en X y G ∩ Y = A. El caso de cerrados puede tratarse
tomando complementarios.
Corolario 3.9. Si Y es abierto en X y A es un abierto relativo a Y , entonces A es también
abierto en X . Análogamente, si Y es cerrado en X y C es cerrado relativo a Y , entonces C es
cerrado en X .
Es bien sabido que el conjunto Q es denso en R, es decir, en todo intervalo abierto de
números reales siempre hay algún número racional, o bien Q = R. La noción de densidad
puede generalizarse a cualquier espacio métrico.
Definición 3.8. Se dice que un conjunto D de X es denso si D = X . Cuando en un espacio
métrico X existe un subconjunto numerable que es denso, se dice que X es separable.
Utilizando el hecho de que Q = R, no es difícil ver que Qn es denso en Rn (problema
3.18). En particular se deduce que Rn es separable. El siguiente teorema nos revela una de las
propiedades más interesantes y utilizadas de los espacios separables.
Teorema 3.10. SiX es un espacio métrico separable, entonces todo recubrimiento por abiertos
de X tiene un subrecubrimiento numerable. Es decir, si
X ⊆
⋃
α∈I
Uα,
26 CAPÍTULO 3. CONCEPTOS TOPOLÓGICOS
donde {Uα}α∈I es una familia cualquiera de abiertos, entonces existe una sucesión (αn) de
índices de I tales que
X ⊆
∞⋃
n=1
Uαn .
Demostración. Sea D = {xn : n ∈ N} un subconjunto denso de X . Para cada xn definamos
Rn := sup{r > 0 | ∃α ∈ I : B(xn, r) ⊆ Uα}.
Como el conjunto es no vacío (ya que la unión de los Uα recubre X), Rn ∈ (0,+∞] está bien
definido.
Para cada n ∈ N podemos escoger entonces αn ∈ I y rn > 0 tales que
B(xn, rn) ⊆ Uαn y
rn >
Rn
2
si Rn < +∞, rn = 1 cuando Rn = +∞.
Veamos que X ⊆
⋃∞
n=1 Uαn . Sea x ∈ X , entonces existe α ∈ I con x ∈ Uα y, como Uα es
abierto, podemos encontrar r ∈ (0, 1) tal que B(x, 3r) ⊆ Uα. Ahora, por la densidad de D
existe n ∈ N tal que d(x, xn) < r. Entonces
x ∈ B(xn, r) ⊂ B(xn, 2r) ⊂ B(x, 3r) ⊆ Uα.
Por la definición de Rn esto implica que 2r ≤ Rn. Luego
r ≤ mı́n{Rn
2
, 1} ≤ rn,
y de esto se sigue que x ∈ B(xn, r) ⊂ B(xn, rn) ⊆ Uαn , es decir, x ∈ Uαn .
Finalizamos el capítulo con una observación importante. Por el Corolario 3.4 sabemos que
la definición de abierto no depende de la norma que consideremos en Rn. Por otro lado, re-
sulta evidente que todos los conceptos que se han definido en este capítulo pueden formularse
exclusivamente en términos de abiertos. Por consiguiente ni el interior, ni la adherencia, ni la
acumulación, ni la frontera, ni la densidad de un subconjunto de Rn dependen de la norma
considerada en Rn.
3.1. Problemas
Problema 3.1. Determinar si los siguientes subconjuntos de Rn son abiertos o cerrados. Hallar
también su interior, adherencia, frontera y puntos de acumulación:
A = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x ≤ 1};
B = {(x, y) ∈ R2 : xy > 1};
C = {(x, y, z) ∈ R3 : y2 + z2 ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1};
D = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ x3, x ∈ Q};
E = {(x, y) ∈ R2 : y = x/n, n ∈ N};
3.1. PROBLEMAS 27
F = {(x, y) ∈ R2 : y = rx, r ∈ Q};
G = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ x2 + y2};
H = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x+ y − x+ w = 5};
I = {(x, y) ∈ R2 : y = sin(1/x), x 6= 0};
J = {(x, y) ∈ R2 : y = f(x)}, donde f : R→ R es una función continua.
Problema 3.2. Sea A un subconjunto abierto de Rn, y B ⊂ Rn un subconjunto cualquiera no
vacío. Probar que el conjunto
A+B := {x+ y ∈ Rn : x ∈ A, y ∈ B}
es un abierto de Rn.
Problema 3.3. Sea A un subconjunto cualquiera no vacío de X , r > 0, y definamos B = {x ∈
X : d(x, y) < r para algún y ∈ A}. Probar que B es abierto.
Problema 3.4. Demostrar que la esfera S(x, r) = {y ∈ X : d(y, x) = r} de un espacio métrico
es un conjunto cerrado.
Problema 3.5. Demostrar que cualquier hiperplano en Rn es cerrado y tiene interior vacío.
Problema 3.6. Demostrar que si A ⊆ B entonces int(A) ⊆ int(B), y que A ⊆ B. Se dice por
esto que la adherencia y el interior son operadores monótonos.
Problema 3.7. ¿Es verdad que int(A) ∪ int(B) = int(A ∪B)?
Problema 3.8. Probar que int(A ∩B) = int(A) ∩ int(B).
Problema 3.9. Demostrar que A ∪B = A ∪B. ¿Es cierto que A ∩B = A ∩B?
Problema 3.10. Probar que cualquier conjunto finito es cerrado.
Problema 3.11. Demostrar que x ∈ A′ si y sólo si cada entorno de x contiene infinitos puntos
de A.
Problema 3.12. Sea A un subconjunto acotado superiormente de R. Probar que supA ∈ A.
Problema 3.13. Identificando Rn × Rm con Rn+m, demostrar que un subconjunto A de Rn+m
es abierto si y sólo si para cada (x, y) ∈ A existen U abierto de Rn y V abierto de Rm tales que
x ∈ U , y ∈ V , y U × V ⊂ A. Indicación: usar la norma ‖ · ‖∞ y recordar el problema 1.10.
Problema 3.14. Demostrar que siA es abierto en Rn yB es abierto en Rm entonces el producto
cartesiano U × V es abierto en Rn+m.
Problema 3.15. Probar que si A ⊆ B entonces A′ ⊆ B′.
Problema 3.16. Probar que (A ∪B)′ = A′ ∪B′.
Problema 3.17. Probar que A′ es siempre cerrado.
Problema 3.18. Probar que Qn es denso en Rn.
28 CAPÍTULO 3. CONCEPTOS TOPOLÓGICOS
Problema 3.19. Demostrar que cualquier abierto de Rn es unión numerable de bolas abiertas.
Indicación: considerar bolas con centros cuyas coordenadas son todas racionales y los radios
también.
Problema 3.20. Generalizar el resultado anterior. Demostrar que en un espacio métrico sepa-
rable cualquier abierto es unión numerable de bolas abiertas.
Problema 3.21. Si D es denso en (X, d) y U es un abierto de X , probar que D ∩ U es denso
en (U, d). ¿Es esto cierto si U no es abierto?
Problema 3.22. Demostrar que la acotación de un conjunto no puede caracterizarse en términos
de abiertos (es decir, no es un concepto topológico, sino puramente métrico). Indicación: ver el
ejemplo 1.3.
Capítulo 4
Sucesiones, completitud y compacidad
En este capítulo, y por las mismas razones apuntadas en el precedente, continuaremos su-
poniendo que X es un espacio métrico, aunque se recomendará al alumno que tenga siempre
presente el caso en el que X es Rn o un subconjunto de Rn.
Recordemos que una sucesión (xk) en un conjunto X no es más que una aplicación k 7→ xk
de N en X . Por otro lado, se dice que una sucesión (yj) es una subsucesión de (xk) si existe
una inyección creciente j 7→ kj de N en N tal que yj = xkj para todo j, y en este caso se
denota(yj) = (xkj). Recordemos que, si H es un subconjunto infinito de N, existe una sola
inyección creciente j de N en N tal que j(N) = H . Por tanto, una subsucesión de (xk) queda
perfectamente determinada por el conjunto H de aquellos índices k que son términos de la
subsucesión.
La definición siguiente no es otra cosa que la extensión natural de la noción de sucesión
convergente en R al caso más general de espacios métricos.
Definición 4.1. Se dice que una sucesión (xn) es convergente a un punto x de (X, d) (al que
se llamará límite de dicha sucesión, y se denotará x = ĺımk→∞ xk) si para todo ε > 0 existe
k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces d(xk, x) ≤ ε.
También se escribirá xn → x para denotar x = ĺımn→∞ xn.
Por supuesto, en el caso de Rn o de un espacio normado cualquiera, esto es lo mismo que
decir que para todo ε > 0 existe k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces ‖xk − x‖ ≤ ε. Otra
formulación equivalente (válida en cualquier espacio métrico) es la siguiente: ĺımk→∞ xk = x
si y sólo si para todo entorno V de x existe k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces xk ∈ V .
Por ejemplo, es fácil ver que la sucesión {
(
n sin(1/n), n2/(n3+5n2+7)
)
} converge a (1, 0)
en R2.
Proposición 4.1. El límite de una sucesión (xk) de X , si existe, es único.
Demostración. Supongamos que x e y son límites de una sucesión (xk), y que x 6= y. Sea ε :=
d(x, y)/3, que es un número estrictamente positivo por ser x 6= y. Puesto que (xk) converge a x,
existe k1 ∈ N tal que si k ≥ k1 entonces d(xk, x) ≤ ε. Como (xk) también converge a y, existe
k2 ∈ N tal que si k ≥ k2 entonces d(xk, y) ≤ ε. Luego, para todo k ≥ máx{k1, k2} tendremos
que
3ε = d(x, y) ≤ d(x, xk) + d(xk, y) ≤ ε+ ε = 2ε,
lo cual es absurdo.
Ejercicio 4.1. Si (xn) es convergente a x entonces cualquier subsucesión (xkj) de (xk) también
converge a x.
29
30 CAPÍTULO 4. SUCESIONES, COMPLETITUD Y COMPACIDAD
La siguiente proposición es evidente, pero no por eso deja de ser menos útil.
Proposición 4.2. Una sucesión (xn) converge a un punto x en (X, d) si y sólo si d(xn, x)
converge a 0 en R.
Como en el caso de las sucesiones de R, a efectos de determinar si una sucesión tiene o no
límite sólo importa lo que ocurra con las colas de la sucesión.
Observación 4.3. Si (xk), (yk) son dos sucesiones de X tales que existe m ∈ N de modo que
xk = yk para todo k ≥ m, entonces (xk) converge (a un punto x) si y sólo si (yk) converge (al
punto x).
También es muy fácil ver que en un espacio normado las sucesiones convergentes son las
mismas para todas las normas que sean equivalentes entre sí.
Observación 4.4. Si ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2 son dos normas equivalentes en un espacio vectorial X ,
entonces toda sucesión convergente en (X, ‖ ·‖1) es convergente en (X, ‖ ·‖2), y tiene el mismo
límite.
La proposición siguiente nos proporciona una manera muy fácil de calcular límites de suce-
siones en Rn: basta usar las técnicas ya conocidas en R para calcular los límites de las sucesiones
coordenadas; el vector cuyas componentes son dichos límites será el límite de la sucesión de
vectores de Rn.
De aquí en adelante, cuando consideremos sucesiones de Rn utilizaremos la notación si-
guiente. Si (xk) es una sucesión de Rn, escribiremos cada vector con sus n componentes
xk = (x
1
k, x
2
k, ..., x
n
k).
A las n sucesiones (x1k), ..., (x
n
k) las llamaremos sucesiones coordenadas de (xk), y un punto
x ∈ Rn lo denotaremos también
x = (x1, ..., xk).
Con esta notación se tiene lo siguiente.
Proposición 4.5. La sucesión (xk) converge a x en Rn si y sólo si, para cada j = 1, ..., n, la
sucesión coordenada (xjk) converge a xj . Es decir,
ĺım
k→∞
xk = x ⇐⇒ ∀j = 1, ..., n ĺım
k→∞
xjk = xj.
Demostración. Como sabemos que las normas ‖ · ‖1, ‖ · ‖2 y ‖ · ‖∞ son equivalentes en Rn,
basta que demostremos este resultado para una de estas normas. Lo más práctico en este caso
será usar la norma ‖ · ‖∞. Supongamos primero que (xk) es convergente a x; es decir, que
‖xk − x‖∞ → 0. Entonces, puesto que, para cada j ∈ {1, ..., n} es
|xjk − x
j| ≤ máx
1≤i≤n
|xik − xi| = ‖xk − x‖∞,
es evidente que también tendremos ĺımk→∞ |xjk − xj| = 0, es decir, ĺımk→∞ x
j
k = x
j .
Recíprocamente, supongamos que ĺımk→∞ x
j
k = x
j para cada j ∈ {1, ..., n}; es decir,
ĺımk→∞ |xjk − xj| = 0 para cada j ∈ {1, ..., n}. Por tanto, dado ε > 0, para cada j ∈ {1, ..., n}
existe kj ∈ N tal que |xjk − xj| ≤ ε para todo k ≤ kj . Tomando k0 := máx{k1, ..., kn} tenemos
entonces que
|xjk − x
j| ≤ ε para todo j ∈ {1, ..., n}, y para todo k ≤ k0,
lo que significa que
‖xk − x‖∞ ≤ ε para todo k ≥ k0,
y esto prueba que ĺımk→∞ xk = x en (Rn, ‖ · ‖∞).
31
Conviene señalar que la convergencia de un sucesión es un concepto topológico, es decir,
puede formularse exclusivamente en términos de conjuntos abiertos. En efecto, es evidente que
xn → x en X si y sólo si para todo entorno abierto U de x existe n0 = n0(U) ∈ N tal que
xn ∈ U si n ≥ n0.
Y también a la inversa, todos los conceptos topológicos estudiados en el capıtulo anterior
podrían haberse definido en términos de sucesiones. En efecto, la proposición siguiente carac-
teriza la adherencia, la frontera y la acumulación de un conjunto en términos de límites de
sucesiones de dicho conjunto o su complementario. Una vez definida la adherencia A de un
conjunto A, podemos llamar cerrados a los conjuntos C tales que C = C, y abiertos a sus
complementarios.
Proposición 4.6. Sea A un subconjunto de (X, d), y x un punto de X . Entonces:
1) x ∈ A si y sólo si existe una sucesión (xk) ⊂ A tal que ĺımk→∞ xk = x en X;
2) x ∈ A′ si y sólo si existe (xk) ⊂ A \ {x} tal que ĺımk→∞ xk = x en X;
3) x ∈ ∂A si y sólo si existen sucesiones (xk) ⊂ A e (yk) ⊂ X \ A tales que x =
ĺımk→∞ xk = ĺımk→∞ yk = x en X .
Demostración. Demostremos (1). Si x ∈ A entonces para cada r > 0 sabemos que A ∩
B(x, r) 6= ∅. Considerando r de la forma r = 1/k, k ∈ N, obtenemos una sucesión (xk) tal
que xk ∈ A ∩ B(x, 1/k) par cada k ∈ N, lo cual implica que (xk) ⊆ A y que ĺımk→∞ xk = x.
Recíprocamente, si existe una sucesión (xk) con estas dos propiedades, entonces dado cual-
quier r > 0, como ĺımk→∞ xk = x, existe kr ∈ N tal que xk inB(x, r) para todo k ≥ kr, y
como además (xk) ⊆ A deducimos que xk ∈ A ∩ B(x, r) para todo k ≥ kr, y en particu-
lar que A ∩ B(x, r) 6= ∅. Como esto es cierto para todo r > 0 concluimos que x ∈ A. Las
demostraciones de (2) y (3) son similares y quedan a cargo del lector.
En particular se tiene un corolario que resulta a veces muy útil para ver si un conjunto es
cerrado.
Corolario 4.7. Un conjunto A de X es cerrado si y sólo si, para toda sucesión (xk) ⊂ A y todo
x ∈ X tales que ĺımk→∞ xk = x, se tiene que x ∈ A.
Demostración. Supongamos primero que A es cerrado, es decir que A = A. Dada una sucesión
(xk) ⊂ A y un punto x ∈ X tales que ĺımk→∞ xk = x, por la proposición anterior tenemos que
x ∈ A. Como por hipótesis A = A, se deduce que x ∈ A.
Recíprocamente, supongamos queA tiene la propiedad del enunciado, y probemos que A =
A, para lo cual basta demostrar que A ⊆ A. Dado x ∈ A, por la proposición anterior existe
una sucesión (xk) ⊂ A tal que ĺımk→∞ xk = x. Entonces, usando la hiótesis, deducimos que
x ∈ A.
El siguiente resultado caracteriza los puntos de acumulación de las sucesiones de X .
Proposición 4.8. Un punto x es de acumulación de una sucesión (xk) si y sólo si existe una
subsucesión (xkj) de (xk) con xkj 6= x para todo j y x = ĺımj→∞ xkj .
Demostración. Denotemos A = {xk : k ∈ N}, y supongamos que x ∈ A′, es decir, que
B(x, r) ∩ (A \ {x}) 6= ∅ para todo r > 0. Comenzamos tomando r = 1 para encontrar
xk1 ∈ B(x, 1) ∩ (A \ {x}). Ahora consideramos
r1 =
1
2
mı́n{d(xk, x) : k ≤ k1, xk 6= x},
32 CAPÍTULO 4. SUCESIONES, COMPLETITUD Y COMPACIDAD
que es un número estrictamente positivo, y usamos que B(x, r1) ∩ (A \ {x}) 6= ∅ para encon-
trar xk2 tal que xk2 ∈ B(x, r1) ∩ (A \ {x}). Obsérvese que, por la definición de r1, tenemos
d(xk2 , x) ≤ 1/2 y también xk2 6= xk para todo k ≤ k1, lo cual implica que k2 > k1. Prosegui-
mos considerando
r2 =
1
3mı́n{d(xk, x) : k ≤ k2, xk 6= x},
y usamos que B(x, r2) ∩ (A \ {x}) 6= ∅ para encontrar xk3 tal que xk3 ∈ B(x, r2) ∩ (A \ {x}).
Ahora tenemos d(xk3 , x) ≤ 1/3 y también xk3 6= xk para todo k ≤ k2, lo que impone que k3 >
k2. Continuando este proceso con un argumento inductivo obtenemos una colección (xkj)j∈N
de puntos de A con las propiedades de que d(xkj , x) ≤ 1/j y kj+1 > kj para todo j ∈ N. Esto
implica que (xkj)j∈N es subsucesión de (xk)k∈N, y que ĺımj→∞ xkj = x.
El recíproco es consecuencia inmediata de la Proposición 4.6.
Recordemos que si (xk) es una sucesión acotada de R entonces (xk) tiene una subsucesión
convergente. Esto es lo que nos dice el teorema de Bolzano-Weierstrass. Este teorema puede
extenderse al espacio Rn, como veremos hacia el final de este capítulo cuando estudiemos
la noción de compacidad, aunque el lector inquieto puede intentar una demostración directa
(hágase primero en R2 aplicando dos veces el teorema de Bolzano-Weierstrass en R, y después
empléese un argumento inductivo).
Pasamos ahora a estudiar la noción de completitud de un espacio métrico.
Definición 4.2. Se dice que (xk) es una sucesión de Cauchy en (X, d) si para todo ε > 0 existe
k0 ∈ N tal que si k, j ≥ k0 entonces d(xk, xj) ≤ ε.
Se dice que el espacio (X, d) es completo si toda sucesión de Cauchy en X converge.
Se dice que un espacio vectorial normado (E, ‖ · ‖) es completo si como espacio métrico
es completo para la distancia inducida por su norma. A los espacios normados completos se les
llama también espacios de Banach.
Por ejemplo, es ya sabido que (R, | · |) es completo. Sin embargo (Q, | · |) no lo es (por
ejemplo la sucesión de números racionales (1 + 1/n)n es de Cauchy pero no converge en Q).
Proposición 4.9. Toda sucesión convergente es de Cauchy.
Demostración. Si (xk) es una sucesión convergente en un espacio métrico (X, d), dado ε > 0
existe kε > 0 tal que d(xk, x) ≤ ε/2 para todo k ≥ kε. Por tanto, para todos k, j ≥ kε tenemos
d(xk, xj) ≤ d(xk, x) + d(x, xj) ≤
ε
2
+
ε
2
= ε.
Esto prueba que (xk) es de Cauchy en (X, d).
El recíproco no es verdad en general, como prueba el ejemplo anterior.
La noción de sucesión de Cauchy es estable por paso a subsucesiones.
Proposición 4.10. Toda subsucesión de una sucesión de Cauchy es también de Cauchy.
Demostración. Sea (xk) de Cauchy en (X, d), y sea (xkj) una subsucesión de (xk). Nótese que
al ser (xkj) subsucesión de (xk) se tiene que j 7→ kj es una inyección creciente de N en N,
y en particular kj ≥ j para todo j ∈ N. Dado ε > 0, como (xk) es de Cauchy, existe n ∈ N
tal que d(xk, x`) ≤ ε si k, ` ≥ n. Como kj ≥ j para todo j, tenemos entonces que si i, j ≥ n
entonces ki ≥ i ≥ n y kj ≥ j ≥ n, luego d(xki , xkj) ≤ ε. Esto prueba que (xkj) es de Cauchy
en (X, d).
33
Como en el caso de sucesiones convergentes, se tiene lo siguiente.
Proposición 4.11. Una sucesión es de Cauchy en Rn si y sólo si sus sucesiones coordenadas
son de Cauchy en R.
Demostración. Queda como ejercicio para el lector, al que se recomienda inspirarse en la prue-
ba de la Proposición 4.5.
Utilizando la completitud de R y las Proposiciones 4.5 y 4.11, es fácil deducir el siguiente
teorema.
Teorema 4.12. El espacio Rn (con cualquiera de sus normas) es completo.
La demostración resulta inmediata si se utiliza la norma ‖ · ‖∞. El hecho de que el resultado
es cierto para todas las demás normas es entonces consecuencia del Teorema 1.3 (aunque, por
supuesto, para casos concretos como las normas ‖ · ‖2 o ‖ · ‖1, no es necesario emplear este
teorema todavía sin demostrar; basta usar el ejercicio 1.2).
Sin embargo, si a Rn se le dota de una estructura de espacio métrico con una distancia que
no deriva de una norma, el teorema anterior no es cierto en general. Por ejemplo, si X = R con
la distancia
d(x, y) = |arctg(x)− arctg(y)|
entonces la sucesión (n)n∈N es de Cauchy en X , pero no converge a ningún punto de X . Y
sin embargo esta distancia es equivalente a la usual de R, ya que, como es fácil ver, define los
mismos conjuntos abiertos. Esta observación nos indica en particular que la completitud (de
hecho la definición de sucesión de Cauchy) no es un concepto topológico, es decir, no puede
definirse exclusivamente en términos de conjuntos abiertos, sino que es una noción propiamente
métrica, es decir que depende de la distancia y no se conserva al tomar distancias equivalentes.
Sin embargo se tiene lo siguiente.
Proposición 4.13. Sean d1 y d2 distancias en un conjunto X , y supongamos que son unifor-
mememente equivalentes. Entonces los espacios métricos (X, d1) y (X, d2) tienen las mismas
sucesiones de Cauchy.
Demostración. Reescribamos la definición de sucesion de Cauchy en términos de bolas: una
sucesión (xn) es de Cauchy en un espacio métrico (X, d) si para cada ε > 0 existe n0 ∈ N tal
que si n,m ≥ n0 entonces xm ∈ Bd(xn, ε) (o, lo que es lo mismo, xn ∈ Bd(xm, ε)).
Supongamos que las distancias d1 y d2 son uniformemente equivalentes (ver la Definición
1.10). Es decir, para cada ε > 0 existen ε1, ε2 > 0 tales que, para todo x ∈ X , se tiene
Bd1(x, ε1) ⊆ Bd2(x, ε), y Bd2(x, ε2) ⊆ Bd1(x, ε). Sea (xn) una sucesión de Cauchy en (X, d1).
Dado ε > 0, sea ε1 como antes. Al ser (xn) de Cauchy en (X, d1), podemos encontrar n0 ∈ N
tal que si n,m ≥ n0 entonces xm ∈ Bd1(xn, ε1), y como Bd1(x, ε1) ⊆ Bd2(x, ε) obtenemos
también que xm ∈ Bd2(x, ε). Esto prueba que (xn) es de Cauchy en (X, d2). Análogamente se
ve que cualquier sucesión de Cauchy en (X, d2) también es de Cauchy en (X, d1).
Conviene observar que el recíproco de la proposición anterior no es cierto; ver el Problema
4.17.
La siguiente proposición muestra que los subconjuntos cerrados de un espacio métrico com-
pleto son a su vez completos con la distancia inducida.
Proposición 4.14. Sea (X, d) un espacio métrico completo, y sea Y un cerrado deX . Entonces
(Y, d) es completo.
34 CAPÍTULO 4. SUCESIONES, COMPLETITUD Y COMPACIDAD
Demostración. Sea (yn) una sucesión de Cauchy en (Y, d). Entonces (yn) también es de Cauchy
en (X, d), y como X es completo, existe =∈ X tal que ĺımn→∞ d(yn, y) = 0. Luego y ∈ Y , y
puesto que Y es cerrado enX , deducimos que y ∈ Y . Por tanto (yn) converge a y en (Y, d).
Por otra parte, existe un recíproco fuerte de este resultado, en el sentido siguiente.
Proposición 4.15. Si Y es un subconjunto de un espacio métrico (X, d) y el subespacio métrico
(Y, d) es completo, entonces Y es cerrado en X .
Demostración. Sea ȳ ∈ Y , es decir, existe (yn) sucesión en Y tal que d(yn, ȳ) → 0. Entonces
(yn) es de Cauchy en (X, d), y por tanto también en (Y, d). Como por hipótesis este espacio es
completo, se tiene que existe y ∈ Y tal que d(yn, y)→ 0. Es decir, la sucesión (yn) converge a
y, y también a ȳ. Por la unicidad del límite, ȳ = y, y por tanto ȳ ∈ Y . Esto prueba que Y ⊆ Y ,
es decir, que Y es cerrado en X .
El siguiente lema es a veces empleado para probar que una sucesión es convergente, y se
utilizará de hecho más adelante en este mismo capítulo para probar que todo espacio métrico
compacto es completo, y también en la demostración del Teorema 4.17.
Lema 4.16. Si (xk) es una sucesión de Cauchy en X que posee una subsucesión convergente
(xkj) (digamos a un punto x ∈ X) entonces (xk) es convergente (también a x).
Demostración. Dado ε > 0, como (xk) es de Cauchy, existe mε ∈ N tal que si k, ` ≥ mε
entonces d(x`, xk) < ε/2. Por otra parte, como (xkj) converge a x, existe j0 ∈ N tal que si
j ≥ j0 entonces d(xkj , x) < ε/2. Fijemos ahora j ≥ j0 suficientemente grande de modo que
kj ≥ mε; esto puede hacerse porque (xkj) es subsucesión de (xk), y en particular ĺımj→∞ kj =
∞. Entonces tenemos que d(x`, x) ≤ d(x`, xkj) + d(xkj , x) ≤ ε/2 + ε/2 = ε para todo
` ≥ mε.
Por supuesto el lema anterior sólo tiene interés si no se sabe que el espacio X sea completo.
El siguiente teorema proporciona una caracterización bastante útil de la completitud de un
espacio métrico.
Teorema 4.17 (Cantor). Las afirmaciones siguientes son equivalentes para un espacio métrico
X .
1. X es completo.
2.Para toda sucesión (Cn) de subconjuntos cerrados no vacíos de X tales que Cn+1 ⊆ Cn
para todo n y con
ĺım
n→∞
diam(Cn) = 0,
se tiene que
⋂∞
n=1 Cn 6= ∅ (y de hecho esta intersección es un único punto).
Demostración. (1) =⇒ (2): Elijamos para cada n ∈ N un punto xn ∈ Cn. Para todo k ≥ n se
tiene que xk ∈ Ck ⊆ Cn 3 xn, luego
d(xn, xk) ≤ diam(Cn),
y como ĺımn→∞ diam(Cn) = 0 se deduce inmediatamente que (xn) es una sucesión de Cauchy.
Como X es completo, existe
x = ĺım
n→∞
xn.
35
Por otro lado, como xk ∈ Cn para k ≥ n y Cn es cerrado, se tiene que x ∈ Cn. Por tanto
x ∈
⋂∞
n=1Cn. De hecho la intersección se reduce al punto x, ya que si hubiera otro punto y, el
diámetro de los Cn sería mayor o igual que d(x, y) > 0, y no podría converger a cero.
(2) =⇒ (1): Sea (xn) una sucesión de Cauchy en X . Definamos
Cn = {xk : k ≥ n}
para cada n ∈ N. Es claro que los Cn son cerrados y Cn+1 ⊂ Cn para todo n. Además,
dado ε > 0, como (xn) es de Cauchy, debe existir n0 ∈ N tal que si k ≥ n ≥ n0 entonces
d(xk, xn) ≤ ε/2. En particular se tiene que Cn ⊆ B(xn0 , ε/2), luego diam(Cn) ≤ ε si n ≥ n0.
Esto prueba que
ĺım
n→∞
diam(Cn) = 0.
Por tanto existe x ∈
⋂∞
n=1Cn. Además, d(xn, x) ≤ diam(Cn) → 0, luego (xn) converge a
x.
El siguiente teorema es un resultado muy importante que será utilizado, entre otras cosas,
para demostrar el teorema de la función inversa en el ámbito de las funciones diferenciables.
Otro tipo de aplicación importante de este resultado se presenta en el problema 4.19.
Se dice que f : X → X es una aplicación contractiva si es L-Lipschitz con L < 1, es decir,
si existe L con 0 ≤ L < 1 tal que
d
(
f(x), f(y)
)
≤ Ld(x, y)
para todo x, y ∈ X . Recordemos también que un punto fijo de una aplicación f es un punto a
tal que f(a) = a.
Teorema 4.18 (del punto fijo para aplicaciones contractivas). Sea X un espacio métrico com-
pleto y f : X → X una aplicación contractiva. Entonces f tiene un único punto fijo a. Además,
para todo x0 ∈ X , la sucesión definida por recurrencia por xn+1 = f(xn) converge al punto
fijo a de f .
Demostración. Si x0 es un punto cualquiera de X , pongamos x1 = f(x0), y para cada n ∈ N
definamos xn+1 = f(xn). Como f es L-Lipschitz para algún L < 1, tenemos que
d(xn+1, xn+2) = d
(
f(xn), f(xn+1)
)
≤ Ld(xn, xn+1).
Por iteración de esta desigualdad se deduce que también
d(xn, xn+1) ≤ Lnd(x0, x1).
Luego, para k > n, tenemos que
d(xn, xk) ≤
k−1∑
j=n
d(xj, xj+1) ≤
k−1∑
j=n
Ljd(x0, x1) =
=
Ln − Lk
1− L
d(x0, x1) ≤ Ln
d(x0, x1)
1− L
,
y como ĺımn→∞ Ln = 0 esto implica que (xn) es de Cauchy. Como X es completo, (xn)
converge a un punto a ∈ X . Además tenemos que
d
(
f(xn), f(a)
)
≤ Ld(xn, a)→ 0,
36 CAPÍTULO 4. SUCESIONES, COMPLETITUD Y COMPACIDAD
luego ĺımn→∞ f(xn) = f(a). Por tanto,
a = ĺım
n→∞
xn = ĺım
n→∞
xn+1 = ĺım f(xn) = f(a),
y así resulta que a es un punto fijo de f . Por último, a es el único punto fijo de f : si hubiera otro
punto fijo distinto, digamos b, entonces tendríamos
d(a, b) = d(f(a), f(b)) ≤ Ld(a, b) < d(a, b),
lo que es absurdo.
Finalmente estudiaremos la noción de compacidad en un espacio métrico, y especialmente
la caracterización de los compactos de (Rn, ‖ · ‖) como aquellos subconjuntos que son cerrados
y acotados.
Definición 4.3. Se dice que un espacio métrico (X, d) es compacto si toda sucesión de X tiene
una subsucesión convergente.
Se dice que un subconjunto K de (X, d) es compacto si el subespacio métrico (K, d) es
compacto, lo que equivale a decir que toda sucesión (xn) ⊆ K tiene una subsucesión que
converge en X a algún punto x ∈ K.
Así, por ejemplo, es inmediato ver que N y {1/n2 : n ∈ N} no son compactos en R,
mientras que cualquier intervalo cerrado y acotado [a, b] de R sí es compacto. De hecho se tiene
la siguiente caracterización de los compactos de R.
Teorema 4.19. Un subconjunto K de (R, | · |) es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.
Demostración. Supongamos que K es cerrado y acotado. Sea (xn) ⊂ K. Por ser K acotado,
esta sucesión está acotada, luego, por el teorema de Bolzano-Weierstrass para sucesiones, (xn)
tiene una subsucesión (xnj) convergente en R, digamos, a un punto x ∈ R. En particular x es
un punto de K = K. Por tanto (xnj) converge a x ∈ K en K.
El recíproco es siempre verdad para un espacio métrico (es decir, no depende de la estructura
particular de R), como los dos resultados que vemos a continuación prueban.
Teorema 4.20. SiK es un compacto de un espacio métrico (X, d) entonces (K, d) es completo,
y en particular K es cerrado en X .
Demostración. Sea (xn) de Cauchy en K. Como K es compacto, tiene una subsucesión con-
vergente a un punto x ∈ K. Por el Lema 4.16, (xn) converge a x. Luego K es completo. Que
K es cerrado se deduce aplicando la Proposición 4.15.
Definición 4.4. Se dice que un subconjunto A de un espacio métrico X es totalmente acotado
(o precompacto, según los textos) si, para todo ε > 0, A puede cubrirse por una colección finita
de subconjuntos de X de diámetro menor que ε. Esto es lo mismo que decir que, para cada
ε > 0, A está contenido en una unión finita de bolas de radio menor que ε.
Obsérvese que cualquier subconjunto de un totalmente acotado es también totalmente aco-
tado.
Ejercicio 4.2. Probar que si X es totalmente acotado entonces es acotado.
Teorema 4.21. Si K es un compacto de X entonces K es totalmente acotado (y en particular
acotado).
37
Demostración. Fijemos ε > 0. Supongamos que K no estuviera contenido en la unión de
ninguna cantidad finita de bolas de radio ε. Escojamos x1 ∈ K, y consideremos B(x1, ε).
Como esta bola no recubre K, entonces podemos escoger x2 ∈ K \ B(x1, ε); en particular
d(x2, x1) ≥ ε. Por inducción se construye una sucesión (xn) ⊆ K con la propiedad de que
xn+1 ∈ K \
n⋃
j=1
B(xj, ε)
para cada n ∈ N. En particular vemos que d(xn, xm) ≥ ε para todo n > m. Por tanto ninguna
subsucesión de (xn) puede ser de Cauchy, y en particular (xn) no tiene ninguna subsucesión
convergente, lo que contradice que K sea compacto.
Corolario 4.22. Todo espacio métrico compacto es separable.
Demostración. Sea X compacto. Por el teorema anterior, X es totalmente acotado. Por tanto,
para cada k ∈ N, existe una colección finita de bolas B(zkj , 1n), j = 1, ..., Nk tales que
X ⊆
Nk⋃
j
B(zkj ,
1
k
).
Definamos Dk = {zkj : j = 1, ..., Nk}, y D =
⋃∞
k=1 Dk. Veamos que D es denso en X y
habremos acabado. Sea x un punto de X y U un abierto cualquiera que contiene a x. Existe
por tanto rx > 0 tal que B(x, rx) ⊂ U . Sea k ∈ N suficientemente grande para que 1/k < rx.
Como las bolas B(zkj , 1/k) recubren X , debe existir un j tal que x ∈ B(zkj , 1/k), es decir,
d(x, zkj ) < 1/k, o bien D 3 zkj ∈ B(x, 1/k) ⊂ U .
A continuación veremos que los subconjuntos cerrados de un compacto heredan la propie-
dad de compacidad.
Proposición 4.23. Si C ⊆ K, C es cerrado yK es compacto, entonces C también es compacto.
Demostración. Sea (xn) ⊆ C. Como C ⊆ K y K es compacto, existe (xnj) subsucesión de
(xn) que converge a un punto x ∈ K. Luego x ∈ C, y como C es cerrado, x ∈ C. Así (xnj)
converge a x en C.
El siguiente resultado muestra que, si X es compacto, no es preciso pedir que el diámetro
de los Cn tienda a 0 en el Teorema 4.17 para concluir que la intersección es no vacía (aunque
en este caso, claro está, puede que contenga más de un punto).
Teorema 4.24 (Cantor). Sea X un espacio compacto, y sea (Cn) una sucesión de cerrados no
vacíos encajados de X (es decir, Cn+1 ⊆ Cn). Entonces
∞⋂
n=1
Cn 6= ∅.
Demostración. Para cada n ∈ N elijamos xn ∈ Cn. Como X es compacto, la sucesión (xn)
tiene una subsucesión convergente, digamos ĺımj→∞ xnj = x ∈ X . Para cada m ∈ N se tiene
que xnj ∈ Cm si j ≥ km para algún km suficientemente grande, y como Cm es cerrado se
concluye que x ∈ Cm para todo m, de donde x ∈
⋂∞
n=1Cn.
La siguiente caracterización de la compacidad es muy importante. De hecho a veces se toma
(2) como definición de espacio métrico compacto.
38 CAPÍTULO 4. SUCESIONES, COMPLETITUD Y COMPACIDAD
Teorema 4.25 (Borel-Lebesgue).Sea K un subconjunto de un espacio métrico X . Las siguien-
tes afirmaciones son equivalentes.
(1) K es compacto.
(2) Todo recubrimiento de K por abiertos de X tiene un subrecubrimiento finito.
(3) Todo subconjunto infinito de K tiene algún punto de acumulación.
Es decir, K es compacto si y sólo si para toda familia F = {Uα}α∈I de abiertos de X tal que
K ⊆
⋃
α∈I
Uα
existe una subfamilia finita {Uα1 , ..., Uαn} de F tal que
K ⊆
n⋃
j=1
Uαj .
Demostración. (1) =⇒ (2): Sea F una familia de abiertos de X que recubre K. Gracias al
Teorema 3.10 sabemos que existe un subrecubrimiento numerable, es decir, podemos suponer
que tenemos
K ⊆
∞⋃
n=1
Un,
donde (Un) es una sucesión (de abiertos de X) contenida en F . Definamos Cn = K \
⋃n
j=1 Uj ,
que es un cerrado de K para cada n ∈ N. Obviamente es Cn+1 ⊆ Cn ⊆ K para todo n ∈ N. Si
no existiera ningún subrecubrimiento finito, entonces tendríamos que Cn 6= ∅ para todo n. Por
el Teorema de Cantor 4.24 concluiríamos que
∞⋂
n=1
Cn 6= ∅,
o lo que es lo mismo, K no estaría contenido en
K \
∞⋂
n=1
Cn =
∞⋃
n=1
(
K \ Cn
)
= K ∩
( ∞⋃
j=1
Uj
)
,
lo que es absurdo.
(2) =⇒ (3): Sea A un subconjunto infinito de K, y supongamos que A no tiene ningún punto
de acumulación en K. Escojamos x1 ∈ A. Como x1 /∈ A′, existe r1 > 0 tal que B(x1, r1) ∩
(A \ {x1}) = ∅. Como A es infinito, podemos escoger ahora x2 ∈ A tal que x2 6= x1 y x2 /∈ A′.
Por tanto existe r2 > 0 tal que B(x2, r2)∩ (A \ {x2}) = ∅. Continuando de este modo y usando
inducción podemos construir dos sucesiones (xn) de puntos distintos de A y (rn) de números
positivos con la propiedad de que
B(xn, rn) ∩ A = {xn}
para todo n ∈ N. Además, el conjunto C := {xn : n ∈ N} es cerrado (ya que C ⊆ A, luego
C ′ ⊆ A′ = ∅, es decir, C ′ = ∅, y por tanto C = C ∪ C ′ = C). Consideremos entonces el
siguiente recubrimiento de K por abiertos de X:
K ⊆ (X \ C) ∪
∞⋃
n=1
B(xn, rn).
39
Este recubrimiento de K no tiene ningún subrecubrimiento finito, ya que ello implicaría la
existencia de algún n ∈ N tal que A 3 xj ∈ B(xn, rn) para infinitos j 6= n. Esto contradice (2).
(3) =⇒ (1): Sea (xn) una sucesión de K. Si C := {xn : n ∈ N} es un conjunto finito,
entonces evidentemente (xn) debe repetir infinitas veces uno de los elementos de C, lo que da
una subsucesión constante y en particular convergente. Podemos suponer pues queC es infinito.
Entonces, por (3), existe x ∈ C ′ ∩ K. Y por la Proposición 4.8 esto significa que existe una
subsucesión de (xn) que converge a x en K.
El siguiente resultado puede verse como un refinamiento del teorema de Cantor. Se dice que
una familia F de conjuntos tiene la propiedad de intersección finita si, siempre que se tome una
cantidad finita de miembros F1, ..., Fn ∈ F , se obtiene que
⋂n
j=1 Fj 6= ∅.
Teorema 4.26. Sea K un espacio métrico. Las afirmaciones siguientes son equivalentes.
(1) K es compacto.
(2) Para toda familia F de conjuntos cerrados de K con la propiedad de intersección finita,
se tiene que ⋂
{F : F ∈ F} 6= ∅.
Demostración. (1) =⇒ (2): Supongamos que fuera
⋂
{F : F ∈ F} = ∅. Entonces G =
{K \ F : F ∈ F} sería una familia de abiertos de K tal que K =
⋃
{G : G ∈ G}. Luego,
por ser K compacto, y usando el teorema anterior, existen F1, ..., Fn ∈ F tales que K =⋃n
j=1
(
K \ Fj
)
= K \
⋂n
j=1 Fj . Por tanto ha de ser
⋂n
j=1 Fj = ∅, lo que contradice la hipótesis
en (2).
(2) =⇒ (1): Sea {G : g ∈ G} un recubrimiento por abiertos de K. Definamos F = {K \
G : G ∈ G}. Se tiene que
⋂
{F : F ∈ F} = ∅,. Luego F no puede tener la propiedad de
intersección finita. Existen pues G1, ..., Gn ∈ G tales que los Fj = K \Gj satisfacen F1 ∩ ... ∩
Fn = ∅, es decir, K = G1 ∪ ... ∪ Gn. Utilizando el teorema anterior se concluye que K es
compacto.
Antes de pasar a estudiar los compactos de Rn vamos a establecer una última caracterización
de los compactos de un espacio métrico general que precisamente nos va a proporcionar una
demostración bastante simple del hecho que, en Rn, un conjunto es compacto si y sólo si es
cerrado y acotado.
Teorema 4.27. Un espacio métricoX es compacto si y sólo si es totalmente acotado y completo.
Demostración. Ya sabemos (ver Teoremas 4.20 y 4.21) que si X es compacto entonces es
completo y totalmente acotado. Recíprocamente, supongamos que X es totalmente acotado
y completo, y veamos que toda sucesión (xn) en X tiene una subsucesión convergente. Para
ε = 1, como X es totalmente acotado, existe una cantidad finita de subconjuntos de X de
diámetro menor o igual a 1 que recubren X . Al menos uno de estos subconjuntos debe contener
infinitos términos de la sucesión; llamémoslo X1, y escojamos n1 ∈ N tal que xn1 ∈ X1.
Ahora, para ε = 1/2, como X1 es totalmente acotado, puede recubrirse por una cantidad finita
de subconjuntos suyos de diámetro menor o igual que 1/2, y al menos uno de éstos contendrá
infinitos términos de (xn); llamemos X2 a uno de éstos y escojamos n2 > n1 tal que xn2 ∈ X2.
Por inducción se construye así una subsucesión (xnk) de (xn) tal que, si j > k, xnj , xnk ∈ Xk,
y como diam(Xk) ≤ 1/k también d((xnj , xnk) ≤ 1/k para j > k, lo que implica que (xnk) es
de Cauchy, y por tanto convergente, gracias a la completitud de X .
40 CAPÍTULO 4. SUCESIONES, COMPLETITUD Y COMPACIDAD
Veamos ahora la anunciada caracterización de los compactos de Rn.
Teorema 4.28. SeaK un subconjunto de Rn. Entonces,K es compacto si y sólo siK es cerrado
y acotado.
Demostración. Sólo hay que probar que siK ⊂ Rn es cerrado y acotado entonces es compacto.
Para ellos usaremos el teorema anterior. Como Rn es completo y K es cerrado, K también es
completo (gracias a la Proposición 4.14). Entonces basta probar que cualquier acotado de Rn es
de hecho totalmente acotado, para lo cual a su vez es suficiente probar que cualquier cubo de la
forma C = [−M,M ]× ...× [−M,M ] en Rn, con M > 0, está totalmente acotado. Pero esto es
evidente: dado ε > 0, escojamos k ∈ N tal que 2
√
nM/k ≤ ε, dividamos el intervalo [−M,M ]
en k subintervalos contiguos I1, ..., Ik de igual longitud 2M/k, y definamos
C(j1,...,jn) = Ij1 × ...× Ijn
para cada (j1, ..., jn) ∈ {1, 2, ..., k}n. Entonces es claro que los kn cubos así definidos recubren
C y tienen diámetro (respecto la norma euclidea) igual a 2
√
nM/k ≤ ε.
Otra manera de probar el teorema anterior se indica en los ejercicios 4.24 y 4.25.
Concluimos con un enunciado que resume todas las propiedades que caracterizan la com-
pacidad vistas hasta ahora.
Teorema 4.29. SeaX un espacio métrico yK un subconjunto suyo. Las siguientes propiedades
son todas equivalentes y cualquiera de ellas puede tomarse como definición de compacto.
1. Toda sucesión de K tiene una subsucesión convergente a un punto de K.
2. Todo recubrimiento de K por abiertos de X tiene un subrecubrimiento finito.
3. Toda familia de cerrados de K con la propiedad de intersección finita tiene intersección
no vacía.
4. Todo subconjunto infinito de K tiene al menos un punto de acumulación en K.
5. K es totalmente acotado y completo.
Además, en el caso X = Rn, todas las propiedades equivalen a decir que K es cerrado y
acotado.
4.1. Problemas
Problema 4.1. Estudiar la convergencia de las sucesiones (xn) de R2 y R3 definidas por las
siguientes expresiones, calculando el límite de las mismas cuando exista. Si no existe, estudiar
si alguna subsucesión suya converge.
i) xn = (e3+5n−n
2
, arctgn) en R2;
ii) xn = (e3+5n−n
2
, n2) en R2;
iii) xn = (sin(n2 + 7), 1/n3) en R2;
iv) xn = (sin3n(n2 +
√
2), (−1)n, e−5n) en R3.
4.1. PROBLEMAS 41
Problema 4.2. Sea (xn) una sucesión de R3 tal que
‖xn − xk‖ ≤
1
n
+
1
k
para todo n, k ∈ N. Probar que (xn) es convergente.
Problema 4.3. Sea (xn) una sucesión de R3 tal que
‖xn+1 − xn‖ ≤
1
n2
para todo n ∈ N. Probar que (xn) es convergente.
Problema 4.4. Definir cuándo una serie de vectores de Rn es convergente.
Problema 4.5. Diremos que una serie de vectores
∑∞
k=1 xk de Rn es absolutamente conver-
gente si la serie de números reales
∑∞
k=1 ‖xk‖ es convergente en R. Probar que toda serie
absolutamente convergente