¿Es el 0 un número racional?

El 0 es un número racional, además es un entero par, además es un número divisible entre tres. Más aún, es el único entero finito divisible por cualquier número (de hecho es la intersección de todos los ideales primos del anillo de los enteros, razón por la cual es divisible por todos ellos).

Más cosas curiosas: existió una larga y agria polémica entre los matemáticos sobre si es el primer número natural, o si el primer número entero natural es el 1. Los axiomas de Peano para definir los números naturales NN, de hecho son algo más sencillos si se considera el 0 es un número natural. Modernamente la convención más usual es N={0,1,2,…}N={0,1,2,…} mientras que N∗=N−{0}={1,2,…}N∗=N−{0}={1,2,…}.

(digresión/off topic) También en la teoría de conjuntos es más fácil formalizar la noción de número entero si se considera que el cero se considera el entero más pequeño, en particular en esa teoría se hace lo siguiente:

0=∅,1={∅}={0}0=∅,1={∅}={0}

Es decir, se identifica el cero con el conjunto vacío, y se identifica el uno con el conjunto que sólo tiene al conjunto vacío como miembro (ojo ese conjunto contiene un sólo elemento, no es vacío) y a partir de ahí se pueden definir los otros enteros:

2={0,1}={∅,{∅}},3={0,1,2}={∅,{∅},{∅,{∅}}}2={0,1}={∅,{∅}},3={0,1,2}={∅,{∅},{∅,{∅}}}

Y así recursivamente se define cualquier entero finito, un axioma especial garantiza que existe un conjunto inductivo (es decir, infinito) lo cual garantiza que el conjunto de los infinitos enteros construidos así, es a su vez un conjunto. Y a partir de ahí es sencillo seguir usando axiomas elementales para construir los conjuntos Z⊂Q⊂R⊂CZ⊂Q⊂R⊂C (enteros, racionales, reales, complejos) e incluso los conjuntos más extraños denominados A⊂R⊂∗R⊂∗CA⊂R⊂∗R⊂∗C (algebraicos, reales, hiperreales, complejificación de los hiperreales). E incluso más los superreales y los surreales (los hiperreales, superreales, surreales así como sus complejificaciones que yo sepa son conocidos sólo por matemáticos, aunque algún software de cálculo simbólico ha usado hiperreales y también los ingenieros y sus “diferenciales” usan informalmente una aproximación a los hiperreales).

Está claro que el concepto de número se ha vuelto muy espumoso!