¿Por qué el teorema de lo incompleto de Godel sólo se aplica a los sistemas axiomáticos que abarcan los números naturales?

Los teoremas de incompletitud de Gödel solo se aplican a los sistemas axiomáticos que abarcan a los números naturales, la pregunta es totalmente correcta.

El Primer Teorema de Incompletitud afirma que un sistema axiomático tal es incompleto, lo que significa que existen en su seno afirmaciones que ni pueden ser demostradas ni pueden ser demostradas sus negaciones: es decir: son indecidibles.

El motivo de restringir el teorema a aquellos sistemas capaces de albergar una teoría de los números naturales (en el lenguaje de Gödel: aquellos sistemas capaces de dar cuenta de la aritmética formal) es que para sistemas menores el propio Gödel había demostrado su completitud.

En efecto, en 1929–1930, poco antes de publicar sus trabajos que lo harían mundialmente famoso, Gödel demuestra que el Cálculo de Predicados es completo por procedimientos no finitistas ajenos al programa de Hilbert. Más específicamente, demuestra que en una lógica de primer orden, toda fórmula que es válida en un sentido lógico es demostrable.

Este se denomina el Teorema de Completitud de Gödel. Ojo al nombre: completitud, no incompletitud.

Al año siguiente publica lo que sería una bomba: Sobre las proposiciones formalmente indecidibles en los Principia Mathematica y sistemas afines, con título original en alemán: "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme," en la revista relativamente secundaria Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173-98.

Así pues, la respuesta corta a la pregunta es que Gödel restringe sus teoremas de incompletitud a los sistemas axiomáticos que abarcan la aritmética porque él mismo había demostrado que los menores sí eran completos.