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¿Cómo demuestro que √ (3n²+2n+2)∉Q, ∀n∈N ?

Bien, para empezar debemos “suponer” qué quiere preguntar la pregunta, porque “para todo” discípulo de Bourbaki, es sabido lo complicado que resulta manejar bien los cuantificadores “para todo” (∀). Es decir, algo bueno enseñaron, a pesar de sus nefastas dotes pedagógicas, y lo primero de todo aquello bueno, es recordar que el cuantificador debe ir al principio, no es una simple abreviatura del sintagma “para todo”; de modo que la proposición Tal y tal, ∀n∈N no tiene sentido lógico, sino que debe ser: ∀n∈N, Tal y tal…

Esto viene a cuento de que produce ambigüedad o confusión y algún “Quorófilo” puede confundirse o dudar (de hecho algo así ha sucedido) si se pide demostrar que ∀n∈N el radical toma un valor irracional, o bien si no se verifica siempre que el radical sea racional “para todo” n∈N (!), que son cosas distintas.

Entiendo que la pregunta interesante es la primera; porque si se trata de la segunda, es evidente que si n=0, 1, 2, 3, …y otros cuantos valores que queramos dar, el radical no es racional; pero, en principio, quizá sí podría serlo para un n enorme, puesto que la teoría de números ya sabemos cómo las gasta… (no es posible, pero eso hay que demostrarlo).

Por ejemplo, n²+2n-15 no es un cuadrado “para todo n”, pues si n= 7, por ejemplo, sale 48, que no es cuadrado, y para n=5 sale 20, que tampoco lo es; pero para n=4 su valor es 9 que sí es cuadrado; luego si digo que n²+2n-15 no es cuadrado para todo n, tengo razón, mientras que si afirmo que ∀n∈N, n²+2n-15 no es un cuadrado, ¡¡no tengo razón!!, afirmo algo falso.

Así pues, respondo a la pregunta: ¿cómo demostrar que ∀n∈N, 3n²+2n+2 NUNCA es un cuadrado?.

Es decir, queremos considerar la ecuación diofántica 3x²+2x+2 = y² , en enteros positivos x, y, y probar su irresolubilidad, es decir, demostrar que no tiene solución alguna con x, y € Z+.

Supongamos, pues, que existiera alguna solución con valores positivos y enteros para x e y.

Por medio de sencillas transformaciones (además standard en la teoría aritmética de las formas cuadráticas, no son artificios ad hoc), se obtiene, multiplicando por 3:

9x² + 6x + 6 =3y² → (3x+1)² + 5 = 3y²; haciendo 3x+1 = u, y = v, obtenemos:

u²-3v²= -5; donde u y v serían enteros por serlo x e y, evidentemente.

Pero si D es un número entero positivo y no cuadrado perfecto, la famosísima ecuación de Pell (mal llamada, por error de atribución de Euler, porque la estudió y propuso Fermat y la resolvió por primera vez Lagrange) es u² - Dv² = 1, y es de importancia central en la solución de la ecuación general de Pell,

u² - Dv² = (+,-) M, donde M es un entero > 1. Esta ecuación, concretándonos al caso -M, es decir, a la ecuación u² - Dv² = -M tiene un número finito de soluciones llamadas “fundamentales”, de cada una de las cuales surge una rama infinita de soluciones expresadas como u (n)+ v(n) √D en forma de progresión geométrica de razón

X1 + Y1 √D, donde X1 + Y1 √D es la solución mínima (o solución fundamental), con X1, Y1 en Z+, de la ecuación de Pell u² - Dv² = 1. Es decir, toda solución u(n), v(n) derivada de la fundamental u(0), v(0), verifica:

u(n) + v(n) √D = [ u(0) + v(0) √D ] * (X1 + Y1 √D)^n, donde n es un número natural.

Y si no hay ninguna solución fundamental, entonces no hay soluciones enteras en absoluto para la ecuación dada, u² - Dv² = -M.

Lo mismo sucede si en lugar de -M se considera +M, solo que las desigualdades a las que satisfacen los valores de u y v en cada solución fundamental varían.

En el caso que ahora nos interesa, las soluciones fundamentales u(0), v(0) para la ecuación u² - Dv² = -N verifican las desigualdades siguientes:

o < v(0) <= [Y1 *√M ] / √(2(X1 - 1)

0 <= |u(0)| <= √[(1/2)*(X1–1)*M]

En la ecuación que nos ocupa, u²-3v²= -5, se tiene D=3, M=-5, solución fundamental de la ecuación de Pell asociada X²-3Y²= 1, es X1=2, Y1=1, luego:

o < v(0) <= 1*√5 / √(2*1) = (1/2) √10 < 4/2=2; de modo que solo podría ser

v(0) = 1, o v(0) = 2; pero esto da u²=-2, que no da valor entero para u (ni siquiera real) en el primer caso, y u²=7 en el segundo, que no admite solución entera en u; por tanto la ecuación u²-3v²= -5 no tiene ninguna solución entera, y así tampoco es soluble en enteros (positivos o no) la ecuación diofántica inicial, 3x²+2x+2 = y².

Por lo tanto, queda probado que:

∀n∈N, se verifica que √ (3n²+2n+2)∉Q