¿Cuándo es el momento adecuado para empezar un curso de álgebra abstracta? ¿Después del cálculo 2 como dicen algunos?

¿Cuándo es el momento adecuado para empezar un curso de Algebra Abstracta?, ¿Después del Cálculo 2 como dicen algunos?

Varios son los criterios con los cuales se puede determinar no solo la ubicación de un contenido como el del Algebra Abstracta respecto de otros contenidos tales como no solo el Cálculo o la Lógica o la Geometría, … etc., como todos no pueden ser desarrollados aquí por las mismas restricciones de espacio que nos impone Quora solo deseo formalizar unos pocos con los cuales poder tener la referencia general del problema de la ubicación y las relaciones que se pueden establecer entre estos dos contenidos - Algebra Abstracta y el Cálculo- y otras materias como la Geometría, la Teoría de Operadores, la Topología, la Teoría Axiomática de Conjuntos y otros temas similares.

Definitivamente y sin ningún ánimo de ser/parecer pretenciosamente exhaustivo que no se puede en este estrecho espacio que nos ofrece Quora, uno de los criterios es obviamente, el usuario/objetivos/finalidades de la ubicación del Algebra Abstracta con respecto a las otras materias. Concretamente, supongamos que nosotros vayamos a formar un especialista en aplicaciones que no vayan a pasar de los siguientes parámetros:

• Objetos: Solo Objetos conmutativos o también no-conmutativos y otras propiedades algebraicas, como son: "cerradura", linealidad, suavidad, etc.
• Objetivos: Fundamentar, aplicar, implementar, evaluar
• Finalidad: Descubrir categorías (como en Aristóteles en su "Metafísica"), Deducir categorías (como en Kant y su "Crítica de la Razón Pura"), Fundamentar categorías (como en Hegel y su "Ciencia de la Lógica")
• Arquitecturar categorías y procesos tales como las relaciones entre Noción, Término, Concepto, Juicio, Raciocinio en el formato que usó Aristóteles para representar los desarrollos de Euclides; lo mismo para la propuesta de Kant; avanzar al siguiente nivel con la integración de la Lógica Erotética, la Lógica Dialéctica, la ontologización de la Lógica, … etc., como en la "Ciencia de la Lógica" y "La Fenomenología del Espíritu" de Hegel.
• Formalizar los diferentes "Modos" de presentar el conocimiento tal como lo formaliza Hegel en su "Ciencia de la Lógica", al implementar sus desarrollos de la Lógica Erotética en la forma de "El fin del Cálculo (diferencial/integral) deducido de su aplicación" (Libro Primero: La Doctrina del Ser. Primera Sección (Determinación o Cualidad) vs. Segunda Sección (Magnitud o Cantidad). Segundo Capítulo: El Cuanto. Sección C. La Infinitud Cuantitativa. Acápite 3ero. ("c"). Nota 2.

No me gustaría hacer este comentario tan abstracto y se va a hacer una referencia fáctica y concreta para la facilidad y referenciación de contenidos.

Sea el paso de un Sistema de Números a otros tal como el paso que nos lleva desde los Números Naturales hacia los Números Complejos, en donde los contenidos de percepción pueden ser:

• El Objeto inicial, definido según los criterios de: a) El Sujeto, b) Las partes del Objeto y su composición, c) Las propiedades del objeto, d) Las operaciones del Objeto, e) Las Condiciones del Objeto.
• Las Reglas de organización del Objeto según los criterios mencionados anteriormente.
• Las implementaciones y limitaciones del Objeto
• Las conclusiones del Proceso.

Como todos sabemos la propuesta de Peano se fundamenta en la definición de un objeto (El número natural) y la definición ("intuitiva") de sus objetos de interés (los números naturales); la necesidad de una definición de sus componentes, para lo cual define una operación (la Suman) y su inversa (la Diferencia); y las condiciones que deben cumplir ambas para que sus resultados se mantengan dentro del espacio definido como "Número Natural". Estas condiciones para la Operación Inversa (La Diferencia) (Que el Minuendo sea menor que el Sustraendo), son los que lo llevan al siguiente conjunto de Números (Los números Enteros); en los cuales se vuelve a repetir el proceso precedente, a saber:

a) Se define una operación (Suma o Multiplicación)

b) Se define la operación Inversa

c) Se definen las condiciones bajo las cuales la operación mantiene una operación de "cierre" o "clausura", para que el resultado se mantenga dentro del conjunto de Números específicos.

d) La negación de las condiciones conduce a un nuevo conjunto de números.

Esto mismo se repite para las operaciones de exponenciación y sus operaciones inversas:

• La Radicación de números positivos para generar números diferentes de los números racionales o generar números irracionales.
• La integración de los números Irracionales y Racionales en la forma de "Números Reales"
• La Radicación de números negativos para generar los Números Complejos, y la construcción de un tipo especial de funciones, conocido como "Variable Compleja", la cual es estudiada en sus propiedades específicas.

Este proceso tiene como objetivos bastante concretos lo siguiente:

• Definir un Objeto (un conjunto de números) en el cual se va a estudiar determinaciones tales como: a) El Sujeto, b) Las condiciones para definir el Objeto, c) Las propiedades del Objeto, d) Las funciones/operaciones que se puede implementar con este tipo de Objetos, e) Las formas de superar las limitaciones de las condiciones impuestas sobre el Objeto, de tal forma que la ampliación/superación de estas condiciones conduzca en una suerte de trayectoria inercial hacia otros "Objetos", los cuales nos iluminan el camino que se debe seguir para construir otros "Objetos" no tan "inerciales" en su proceso de desarrollo sino - y mucho más importante- la "Construcción" de unos objetos que cumplan propiedades, operaciones, objetivos, finalidades, lógicas, semánticas, sintaxis, erotéticas, … etc., diferentes de las inicialmente planteadas.
• En ese contexto podemos diferenciar los objetivos: a) filosóficos, b) científicos, d) tecnológicos, e) instrumentales u operatorios.
• Los objetivos filosóficos de un reconocimiento de la forma de construcción de una arquitectura que esté inicialmente concentrada solo en: a) Objetos (Ontología), b) Condiciones de la definición de tales Objetos (Axiomática), c) Operaciones/Funciones que se pueden implementar a partir de tales objetos, d) Condiciones del "Cierre" categorial del Discurso para mantener las operaciones dentro del espacio definido inicialmente; e) Condiciones que debe tener la Operación "Inversa" como uno más de los diferentes mecanismos por los cuales se puede "salir" de las condiciones impuestas por las definiciones del inciso d), para salir del espacio de Objetos definidos inicialmente; f) La Construcción del siguiente "Objeto" generado a partir de la refutación de las condiciones iniciales.
• Este proceso anterior puede ser sistematizado filosóficamente en las clásicas siguientes etapas descritas por Hegel, a saber:
• Construcción del Discurso del Estado de Conciencia "i" (1)
• Construcción de las Condiciones para salir del estado de Conciencia "i" (2)
• Construcción ("Actualización" según Hegel) de los nuevos valores que definen el Estado de Conciencia "i + 1" (3)
• Evaluación desde los valores del Estado de Conciencia "i + 1" a los mismos valores del Estado de Conciencia "i" (4)
• Evaluación desde los valores del Estado Conciencia "i + 1" de las condiciones para salir al Estado de Conciencia "i + 2" (5)
• Evaluación desde los valores del Estado de Conciencia "i + 1" de los valores del Estado Final de la Conciencia. (6)
• Evaluación desde los valores del Estado de Conciencia "i + 1" de los valores del Estado "Deseado" de Conciencia. (7)
• Evaluación desde los valores del Estado de Conciencia "i + 1" de los valores del Estado "Necesario" siguiente de la Conciencia. (8)
• Desde la perspectiva científica, estos desarrollos adquieren concreción clásica, a saber:
• Se define un Objeto matemático, sus condiciones iniciales, las operaciones que son viables en este Objeto, las condiciones para que tales operaciones se mantengan dentro del espacio inicialmente definido tal como en el caso de los números naturales, enteros, o sus sucesivos desarrollos.
• Se definen las propiedades y operaciones que tienen tales objetos que cumplen con determinadas funciones tales como "cerradura", conmutatividad, etc.,; y las consecuencias a las que lleva el no cumplimiento de tales condiciones sobre las operaciones y los objetos definidos de tal manera, a fin de construir los siguientes objetos; a fin de "intencionalizar" la construcción de "Operaciones" como uno de los mecanismos de la construcción de objetos; con vistas (o no) a su axiomatización o no.
• En el Contexto tecnológico, el conocimiento de la relación de antelación o precedencia del Algebra Abstracta respecto de los contenidos del Cálculo o su inversa tiene como Objetivo fundamentar, deducir, presentar o representar las relaciones y los procesos de construcción de operaciones tales como la Integración, la necesidad de conocer las condiciones para su "unicidad" y "existencia" en determinadas condiciones son ampliamente conocidas por todos los que hayan hecho un curso de cálculo y el como el paso desde éste hacia los contenidos de las Ecuaciones diferenciales Ordinarias y en Derivadas Parciales en variable real, compleja, vectorial, tensorial, en variedades diferenciales, etc.; da efectividad, eficacia, enjundia y solvencia a los formalismos cuantitativos y matemáticos que el trabajo tecnológico demanda.