¿Qué dice el teorema fundamental del álgebra?

Dice que todo polinomio de grado mayor o igual que 1, con coeficientes complejos (esto incluye el caso de que algunos o todos sean reales) tiene al menos una raíz compleja.

Es decir, si P(z)= A0 * z^n + A1 * z^ (n-1) + …+An, con n € N, n>0, y para todo j natural tal que

0 <= j <= n se verifica que Aj es complejo, con A0 distinto de cero, existe al menos cierto z0 € C que es raíz del polinomio P(z), esto es, P(z0)=0.

El significado de este teorema es que el cuerpo de los números complejos es algebraicamente cerrado, puesto que toda ecuación con coeficientes complejos tiene solución; una vez demostrado el teorema (nada evidente, por cierto) es fácil ver que si la ecuación tiene grado n debe tener exactamente n soluciones, que pueden ser distintas, o algunas o todas repetidas (a éstas últimas raíces repetidas, si existen, se les llama raíces múltiples). La consecuencia de gran importancia teórica y práctica es que todo polinomio de coeficientes complejos y de grado n (con n >= 1) se descompone en n factores lineales de la forma z-a.

Lo verdaderamente sorprendente del teorema fundamental del álgebra es que si admitimos que tiene solución la ecuación x² = -1, es decir, si admitimos al “imaginario” número i y se lo adjuntamos a los números reales (admitiendo todas las sumas y productos posibles de números reales y potencias de i) encontramos otro cuerpo que contiene estrictamente a los números reales, en el cual ya todas las ecuaciones de cualquier grado tienen solución; por tanto no se necesita más “imaginación” para otras ecuaciones polinómicas, puesto que ya todas son resolubles mediante solo números reales y la “misteriosa” i .