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Al principio, la pregunta solamente tenía la implicación hacia la derecha, que sí es cierta.
Luego el que hizo la pregunta la editó para poner doble implicación (equivalencia lógica), que no se cumple siempre, ya que la implicación hacia la izquierda no se cumple siempre.

Por definición:
A⊂BA⊂B
se lee “el conjunto A está incluido en el conjunto B”
y la definición de eso es:
que todo elemento que pertenece a A también pertenecerá a B.
En lenguaje lógico esto se dice:

“Si cualquier elemento x pertenece a A implica que x pertenece a B”

Y se escribe:
∀x:x∈A⇒x∈B∀x:x∈A⇒x∈B

La parte de la derecha es:

A∪C⊂B∪CA∪C⊂B∪C

y se leería :
“la unión de los conjuntos A y C está incluida en la unión de los conjuntos B y C”

La unión de dos conjuntos es el conjunto de elementos que pertenecen a uno o al otro. Siendo esa “o” un “OR” lógico no exclusivo, o no excluyente, es decir, que el elemento puede pertenecer a ambos.

Ejemplo:
A = {1, 2}
C = {2, 3}

A∪C={1,2,3}A∪C={1,2,3}

Evidentemente el “2” pertenece a la unión ya que como dije basta que pertenezca a uno de ellos, y el “OR” no es un “XOR”, no es un “OR exclusivo”.

(x∈A⇒x∈B)⇔((x∈A)OR(x∈C))⇒((x∈B)OR(x∈C))(x∈A⇒x∈B)⇔((x∈A)OR(x∈C))⇒((x∈B)OR(x∈C))

Si la implicación hacia la derecha no se ve obvia bastaría considerar 2 casos posibles, según x pertenezca a C o no:

1. Si x pertenece a C eso sería “VERDADERO” o “TRUE” o “1” y cada OR sería 1, llegando a que “VERDADERO” implica “VERDADERO”, lo cual es cierto siempre.

((x∈A)OR(x∈C))⇒((x∈B)OR(x∈C))((x∈A)OR(x∈C))⇒((x∈B)OR(x∈C))
((x∈A)OR(TRUE))⇒((x∈B)OR(TRUE))((x∈A)OR(TRUE))⇒((x∈B)OR(TRUE))
TRUE⇒TRUETRUE⇒TRUE

2. En caso de x no pertenezca a C, eso sería “FALSO” o “FALSE” o “0”,
así que con el OR se convierte en idéntico a lo de la izquierda.

((x∈A)OR(x∈C))⇒((x∈B)OR(x∈C))((x∈A)OR(x∈C))⇒((x∈B)OR(x∈C))
((x∈A)OR(FALSE))⇒((x∈B)OR(FALSE))((x∈A)OR(FALSE))⇒((x∈B)OR(FALSE))
(x∈A)⇒(x∈B)(x∈A)⇒(x∈B)

Y esto es idéntico a la expresión izquierda, en este caso de que x no pertenece a C.

Así que en ambos casos se cumple la implicación hacia la derecha.

Pero en los casos en los que x pertenece a C , como se ha visto antes, se llega en la expresión derecha a “VERDADERO implica VERDADERO”, que es igual a “VERDADERO” … y es obvio que esto no puede implicar siempre la parte izquierda.

Cuando algo es falso la implicación “falso implica ‘cualquier cosa’ ” sí se cumple siempre. Por ejemplo: “Si 1=2 entonces 7=0” … Está diciendo que 7=0 pero solamente cuando 1=2, pero como es falso que 1=2 la implicación es correcta.
Sin embargo, cuando la parte izquierda es verdadera, que la implicación sea correcta depende de que la parte implicada sea cierta o no. Si lo implicado es cierto, entonces la implicación es cierta, y si lo implicado es falso pues no se cumple.
Ej: “ (1=1) implica 7=0” sería una implicación incorrecta, falsa.
“(1=1) implica 7=7” sería una implicación correcta.

Por tanto, la implicación a la izquierda no es válida siempre… porque puede haber casos ciertos en el origen de la implicación donde sea falso el destino.

Podemos pensar en alguna modificación interesante de forma que sí se cumpliese la implicación hacia el otro lado, aunque cuando lo intenté no me salió (luego intenté más y creo que me salió).

Ahora veamos ejemplos donde no se cumple:

Sea C tal que A⊂CA⊂C y B⊂CB⊂C
Entonces:

A∪C=CA∪C=C
B∪C=CB∪C=C

Al estar incluidos ambos en C, la unión con él da C en ambos casos.

Y siempre se cumple A∪C⊂B∪CA∪C⊂B∪C
Porque C⊂CC⊂C

Por tanto, como eso puede ocurrir sin que A esté incluido en B sería falso que lo de la derecha implique lo de la izquierda.

Ahora bien, si se añadiese “para todo conjunto C” en la parte derecha… entonces creo que sí sería válida la doble implicación. Es decir:
“Si para todo conjunto C, la unión de A con C está incluido en la unión de B con C… entonces A estará incluido en B”.

Como es para todo conjunto C también se da en el caso de que sea el conjunto vacío… Y la unión de A con el vacío es A y la unión de B con el vacío es B, así que A tiene que estar incluido en B.

Entonces, quedaría así:

Sean A y B conjuntos cualesquiera:

A⊂B⇔∀C:A∪C⊂B∪CA⊂B⇔∀C:A∪C⊂B∪C

Nótese la diferencia con el enunciado original, que parece lo mismo pero no lo es. En el original sería “para todo A, B y C” y aquí hay 2 “para todo”, uno aplicado a los conjuntos A y B, que se aplica a la doble implicación, y otro “para todo” que se aplica al lado derecho.

Ejemplo:

Si para todo número real c se cumple a*c = b*c entonces a = b

(∀c∈R:a⋅c=b⋅c)⇒(a=b)(∀c∈R:a⋅c=b⋅c)⇒(a=b)

Eso es cierto. Como dice que eso se cumple para todo c, basta elegir un c que no sea cero… (y en el conjunto de los reales existen elementos que no son cero y, por tanto, que tienen inverso multiplicativo), y dividiendo por c (multiplicando por el inverso de c, que existe porque c no es cero) llegamos a que a = b. ¡Siempre!

Sin embargo, si dijésemos:

“a*c = b*c implica a=b “

(a⋅c=b⋅c)⇒(a=b)(a⋅c=b⋅c)⇒(a=b)

Sería falso… porque cuando c = 0 se cumple a*0 = b*0 sean cuales sean a y b, aunque sean diferentes… así que eso no implica que sean iguales.
Ejemplo: a = 1; b =2; c=0. Se cumple a*c = b*c porque 1*0 = 2*0 = 0 pero eso no implica que a sea igual que b, ya que a = 1 y b = 2 ¡No son iguales! Luego no se cumple siempre.

Otra expresión que podríamos pensar si se cumple sería:

Sean A, B y C conjuntos cualesquiera:

A⊂B⇔A∩C⊂B∩CA⊂B⇔A∩C⊂B∩C

Al cambiar la unión por la intersección cambiamos el OR por el AND y cuando x pertenece a C sea TRUE, con el AND es como si no se hiciese el AND y queda la expresión de la izquierda. Pero cuando x no pertenece a C, queda FALSE y con el AND queda FALSE, así que la parte derecha queda “FALSE implica FALSE”, que casualmente es TRUE.

El problema de esta expresión es cuando C está incluido en A y en B, como, por ejemplo, el conjunto vacío, o en general la intersección de A y B. La intersección con el vacío es el vacío y el vacío está incluido en el vacío… así que la parte derecha se cumple, pero la parte izquierda no tiene por qué ser verdad, porque A y B son cualesquiera y pueden ser casos en que A no esté incluido en B.