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Empecemos con los casos n=mn=m o n=−mn=−m. En esas condiciones el producto escalar nos queda

1π∫π−πsin2(nx)dx1π∫−ππsin2⁡(nx)dx (si n=mn=m)

−1π∫π−πsin2(nx)dx−1π∫−ππsin2⁡(nx)dx (si n=−mn=−m usando que el seno es impar). En ambos casos sólo podemos obtener 00 si se anula la integral ∫π−πsin2(nx)dx∫−ππsin2⁡(nx)dx, pero esto no ocurre, pues sin2(nx)sin2⁡(nx) es una función no negativa y es positiva en el intervalo (0,π)(0,π).

Veamos ahora el resto de los casos. Para ello usaremos la siguiente identidad:

sin(a)sin(b)=12[cos(a−b)−cos(a+b)]sin⁡(a)sin⁡(b)=12[cos⁡(a−b)−cos⁡(a+b)].

Notemos primero que sin(nx)sin(mx)sin⁡(nx)sin⁡(mx) es una función par (pues es el producto de dos impares), por lo que

1π∫π−πsin(nx)sin(mx)dx=2π∫π0sin(nx)sin(mx)dx1π∫−ππsin⁡(nx)sin⁡(mx)dx=2π∫0πsin⁡(nx)sin⁡(mx)dx.

Usando la identidad obtenemos

2π∫π0sin(nx)sin(mx)dx=2π∫0πsin⁡(nx)sin⁡(mx)dx=

2π∫π012[cos((n−m)x)−cos((n+m)x)]dx=2π∫0π12[cos⁡((n−m)x)−cos⁡((n+m)x)]dx=

1π∫π0[cos((n−m)x)−cos((n+m)x)]dx1π∫0π[cos⁡((n−m)x)−cos⁡((n+m)x)]dx.

Esta integral se resuelve fácilmente separándola en dos (una para cada coseno) y haciendo cambios de variable (u=(n−m)xu=(n−m)x y u=(n+m)xu=(n+m)x respectivamente). Al final queda

1π[sin((n−m)x)n−m−sin((n+m)x)n+m]∣∣π0=01π[sin⁡((n−m)x)n−m−sin⁡((n+m)x)n+m]|0π=0 independientemente de nn y mm.

Finalmente todos los casos que lo cumplen son n,m∈Zn,m∈Z tal que n≠mn≠m y n≠−mn≠−m.