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Suponemos, por la forma de los datos, que a y b son enteros mayores que cero en valor absoluto, a>0 y b<0.

Si el máximo común divisor de a y b, designado por (a,b), es distinto de 1 y de 3, la ecuación no tiene solución (de lo contrario el primer miembro sería múltiplo de (a,b) mientras el segundo no).

CASO 1: Si (a,b)=1, recordamos la congruencia de Euler, que asegura lo siguiente:

a^φ(b)≡1 (mód b), donde φ representa la función indicador de Euler, que cuenta la cantidad de números enteros positivos menores que el argumento y primos con él. De la ecuación ax-by=-3 se deduce que ax=-3+by, o sea,

ax≡-3 (mód b); y recíprocamente, si se cumple esta última congruencia, para cierto valor entero de x, entonces

ax+3=múlt. b → ax+3=by, para cierto y, de modo que ax-by=-3, y se cumple la ecuación inicial.

Tomando x=(-3)*a^(φ(b)-1) se tiene ax≡-3a^φ(b)≡-3, de modo que una solución de la ecuación diofántica ax-by=-3 es x₀ =(-3)*a^(φ(b)-1), de donde se deduce para y el valor:

y₀ =(ax+3)/b = [(-3)*a^φ(b)+3]/b (la división siempre sale exacta). Conocida la solución entera {x₀, y₀} sea {x, y} cualquier solución entera:

ax-by₀=-3

ax₀-by₀ =-3, restando miembro a miembro:

a(x-x₀)+b(y₀-y)=0 → a(x-x₀)=b(y-y₀); como a es primo con b, por hipótesis, y divide al producto b(y-y₀), ha de dividir al otro factor, y-y₀, de manera que para cierta t€Z:

y-y₀=at, de lo que se deduce x-x₀=bt→ x=x₀+bt // y=y₀+at. Recíprocamente, para todo entero t, es a(x₀+bt)-b(y₀+at)=ax₀-by₀=-3, luego las soluciones de la ecuación diofántica (todas ellas y las únicas) vienen dadas por:

x=x₀+bt // y=y₀+at. Si se quiere que los valores de x e y sean positivos se resuelven las inecuaciones en t:

x₀+bt>0 // y₀+at>0. Habrá infinitas soluciones enteras y positivas.

CASO 2: (a,b)=3, entonces sea c=a/3 // d=b/3; ahora (c,d)=1, luego la ecuación original es equivalente (dividiendo por 3) a ésta otra: cx-dy=-1.

Análogamente al CASO 1, vemos que una solución inicial será:

x=-c^(φ(d)-1) // y=[-c^φ(d)+1]/d, y la solución general es:

x=x₀+dt // y=y₀+ct.

NOTA: Hay métodos muchísimo más prácticos y rápidos que éste, pero dada la forma literal de la ecuación no se puede escribir la fórmula que da las soluciones en forma cerrada porque depende de un algoritmo numérico. Lo extraño es que en la pregunta se pongan coeficientes literales y sin embargo el término independiente sea numérico; sería mejor pregunta poniendo todos numéricos o todos literales…