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Empezaré poniendo un ejemplo y recordando alguna terminología o conceptos.

Un polinomio es una suma de monomios, y cada monomio es de esta forma.

Ahí se puede observar que la parte literal es un producto de ‘incógnitas’ o variables y el grado es la suma de las potencias de cada variable.

Entonces, si n es 2 y g es 2 serían polinomios de 2 incógnitas cuyo grado es a lo sumo 2.

Las partes literales posibles en ese caso serían:

x21x12
x22x22
x1⋅x2x1⋅x2

x1x1
x2x2

11

Y se puede observar que hay 6 dimensiones, ya que cada una de esas “partes literales” o el 1 puede tener un coeficiente.
Y, además, son linealmente independientes, es decir, no puedes obtener una de esas 6 sumando otras o con una combinación lineal de otras. Y son una base, es decir, todo polinomio de ese tipo se puede obtener como combinación lineal de esas partes literales.

Y ese número de dimensiones coincide en este caso (6) con la fórmula que dice el enunciado, la cual habría que demostrar.

(2+22)=4∗32=6(2+22)=4∗32=6

Un ejemplo de polinomio del ejemplo anterior, suponiendo que el cuerpo KK fuese el cuerpo de los números reales, sería:

7∗x21+3∗x22+4∗x1x2+9∗x1+5∗x2+6∗17∗x12+3∗x22+4∗x1x2+9∗x1+5∗x2+6∗1

O, en general, algo así:

A∗x21+B∗x22+C∗x1x2+D∗x1+E∗x2+F∗1A∗x12+B∗x22+C∗x1x2+D∗x1+E∗x2+F∗1

Lo cual equivaldría a un vector de la forma (A, B, C, D, E, F)
que sería la expresión genérica de un vector genérico de K6K6 o de un vector de cualquier KK-espacio vectorial de dimensión 6 expresado como coordenadas respecto a una base.

Para el caso general casi bastaría calcular el número de partes literales diferentes que se pueden formar con n variables y siendo g el grado máximo.
Y comprobar que es (n+gg)=(n+g)!(n+g−g)!⋅g!=(n+g)(n+g−1)…(n+1)g!(n+gg)=(n+g)!(n+g−g)!⋅g!=(n+g)(n+g−1)…(n+1)g!

El número de partes literales de monomios de grado g o menos sería como tener una bolsa con g bolas 1, g bolas x1, … g bolas xn y de esa bolsa de g*n tomas g.

Eso es lo que se llama Combinaciones con Repetición:
Combinaciones con repetición - Wikipedia, la enciclopedia libre

Son combinaciones con repetición de n+1 elementos diferentes, tomados de g en g.

CRn+1g=((n+1g))=(n+gg)CRgn+1=((n+1g))=(n+gg)

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Pero si no nos acordamos de esa fórmula se puede ver de otras maneras.

También se puede ver como un problema de “Distribución de objetos en recipientes”
Distribución de objetos en recipientes - Wikipedia, la enciclopedia libre

Los objetos a repartir son tantos objetos indistinguibles como el grado máximo g y los ‘recipientes’ distinguibles pero sin importar orden serían cada una de las incógnitas y el 1, es decir, n+1 recipientes diferentes.

Para calcularlo o entenderlo mejor se puede usar el truco de las barras y asteriscos, o como dirían los americanos, de las estrellas y barras (stars and bars, que a mi me recuerda a las “barras y estrellas” de la bandera de EEUU).
Stars and bars (combinatorics) - Wikipedia

Por ejemplo, si tenemos:
n = 3 → → Serían 3 variables: x1,x2,x3x1,x2,x3
g = 7 → → sería grado 7

El código de asteriscos y barras
**/***//*

Significaría:
1∗1∗x1∗x1∗x1∗x3=x31∗x31∗1∗x1∗x1∗x1∗x3=x13∗x3
Y esa parte literal tendría grado 4.

Y una de grado 7 no tendría unos, como, por ejemplo:
x21∗x32∗x23x12∗x23∗x32
el cual tendría un código de asteriscos y barras como este:
/**/***/**

Entonces, el cálculo de todas las posibilidades, de esas Combinaciones con Repetición sería equivalente a unas Permutaciones con Repetición de g + n elementos (g asteriscos y n barras) donde un elemento se repite g veces (asteriscos) y el otro se repite n veces (barras).

Y, por otro lado, eso también es equivalente al número de formas de seleccionar n posiciones para las n barras, de un conjunto de g+n posiciones posibles.

En el ejemplo:
/**/***/**
Las posiciones de las barras serían: {1, 4, 8}

Al ser subconjuntos de n elementos de un conjunto de n+g, eso sería: Combinaciones de n+g elementos diferentes tomados de n en n.

Cn+gn=(n+gn)=(n+g)!g!⋅n!Cnn+g=(n+gn)=(n+g)!g!⋅n!

Eso es equivalente también al número de formas de seleccionar las g posiciones para los g asteriscos, de un conjunto de n+g posiciones posibles.

Cn+gg=(n+g)!n!⋅g!=(n+gg)Cgn+g=(n+g)!n!⋅g!=(n+gg)

Y si lo hubiésemos calculado como Permutaciones con Repetición sería:

PRn+gn,g=(n+g)!n!⋅g!=(n+gg)PRn,gn+g=(n+g)!n!⋅g!=(n+gg)

Así que ese sería el número de partes literales diferentes, que al ser linealmente independientes y generadores o ‘base’, pues esa es la dimensión.

Por lo demás, para completar la demostración supongo que habría que ir repasando las propiedades que debe cumplir un Espacio Vectorial y ver que las cumple.

La operación suma del Espacio Vectorial sería la suma de polinomios (sumando coeficientes de monomios homogéneos) y el producto por un escalar sería multiplicar un polinomio por un escalar, o por un polinomio de grado cero.
Por lo tanto, es isomorfo a un KK-E.V. sobre el conjunto KdKd, siendo d la dimensión calculada antes.