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La demostración de eso es bastante simple, pero para que la mayoría no se pierda hay que recordar lo que es el tema de Funciones vectoriales de variable real, longitud de arco y funciones inversas.

Recordando funciones inversas.

Por ejemplo: tengo que : y=f(x)=senxy=f(x)=senx

Su función inversa será: x=f−1(y)=arcsen(y)x=f(y)−1=arcsen(y)

Resolviendo:––––––––––––––Resolviendo:_

Derivada de la función directa: f′(x)=cosxf(x)′=cosx

La derivada de la función inversa es:

Dyf−1(y)=1f′(x)Dyf(y)−1=1f′(x)

O también: ( Notación de Leibnitz )

dxdy=1dydxdxdy=1dydx

Reemplazando la derivada:

Dyf−1(y)=1cos(x)Dyf(y)−1=1cos(x)

Como: x=arcsen(y)x=arcsen(y)

Dyf−1(y)=1cos(arcsen(y))Dyf(y)−1=1cos(arcsen(y))

Y como ya sabemos:

DyArcsen(y)=11−y2−−−−−√DyArcsen(y)=11−y2

Mas detalle para el tema de funciones inversas:

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Ahora lo mismo, pero cambiando de notación para la función inversa:

Tenemos nuestra función directa: s=l(t)=(a2+b2)ts=l(t)=(a2+b2)t

Y su derivada es: s′=l′(t)=(a2+b2)s′=l(t)′=(a2+b2)

Entonces nuestra función inversa será: t=ϕ(s)=s(a2+b2)t=ϕ(s)=s(a2+b2)

Calculamos la derivada de la función inversa, que de acuerdo a esta notación ahora será:

ϕ′(s)=1l′(t)ϕ(s)′=1l′(t) ……………(*)

O también:

dtds=1dsdtdtds=1dsdt

que en este caso simple resulta:

ϕ′(s)=1(a2+b2)ϕ(s)′=1(a2+b2)

Pasamos a la demostración:

En física un vector que indica la variación de una partícula a medida que transcurre el tiempo se representa como:

r⃗ (t)=x(t)i^+y(t)j^+z(t)k^r→(t)=x(t)i^+y(t)j^+z(t)k^ ……………..(1a)

La velocidad:

r⃗ ˙(t)=x˙(t)i^+y˙(t)j^+z˙(t)k^r→˙(t)=x˙(t)i^+y˙(t)j^+z˙(t)k^

Lo que representa el vector posición en matemática se conoce como función vectorial de variable real, la cual se representa mediante la siguiente función vectorial α(t)α(t)

La función que representa la variación de la posición de un vector se representa como:

α(t)=[f1(t),f2(t),f3(t)]α(t)=[f1(t),f2(t),f3(t)] ………………(1b)

Obs: Solamente en un sistema de 3 ejes cartesianos las funciones: f1(t),f2(t),f3(t)f1(t),f2(t),f3(t) son iguales a x(t),y(t),z(t)x(t),y(t),z(t)

Como en este caso.

α(t)=[x(t),y(t),z(t)]α(t)=[x(t),y(t),z(t)]

Como ya se sabe, la longitud de arco para la función α(t)α(t) es:

s=l(t)=∫t0||α′(t)||dt=∫t0[x′(t)]2+[y′(t)]2+[y′(t)]2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√dts=l(t)=∫0t||α(t)′||dt=∫0t[x(t)′]2+[y(t)′]2+[y(t)′]2dt ………………….(2a)

Derivando con respecto al tiempo:

s′=l′(t)=||α′(t)||s′=l(t)′=||α(t)′|| …………(2b)

Así como existe la función: s=l(t)s=l(t) también existe su correspondiente función inversa , la cual es: t=ϕ(s)t=ϕ(s)

Es decir se cumple: s=l(t)<==>t=ϕ(s)s=l(t)<==>t=ϕ(s)

Reparametrizamos la función vectorial representada por α(t)α(t) en función de otra función en donde el parámetro es la longitud de arco ss . Dicha función se representa mediante γ(s)γ(s) es decir:

En física:

r⃗ (ϕ(s))=x(ϕ(s))i^+y(ϕ(s))j^+z(ϕ(s))k^r→(ϕ(s))=x(ϕ(s))i^+y(ϕ(s))j^+z(ϕ(s))k^ …………………(3a)

En matemática

γ(s)=α(ϕ(s))=[f1(ϕ(s)),f2(ϕ(s)),f3(ϕ(s))]γ(s)=α(ϕ(s))=[f1(ϕ(s)),f2(ϕ(s)),f3(ϕ(s))] ……………….(3b)

Derivando:

γ′(s)=α(ϕ(s)).ϕ′(s)γ(s)′=α(ϕ(s)).ϕ(s)′ …………..(4a)

Reemplazando (*) en (4a)

γ′(s)=α(ϕ(s)).1l′(t)γ(s)′=α(ϕ(s)).1l(t)′

Como: t=ϕ(s)t=ϕ(s)

γ′(s)=α(ϕ(s)).1l′(ϕ(s))γ(s)′=α(ϕ(s)).1l′(ϕ(s))

γ′(s)=α(t).1l′(t)γ(s)′=α(t).1l(t)′

pero de acuerdo con (2b). El denominador es el módulo de la función vectorial α(t)α(t)

γ(s)=α(t)||α(t)||γ(s)=α(t)||α(t)||

Claramente γ′(s)γ(s)′ tiene la forma de un vector unitario, por lo que si aplicamos norma al vector, su módulo será finalmente 1.

γ′(s)=||α(t)||||α(t)||=1γ(s)′=||α(t)||||α(t)||=1

||γ′(s)||=||T(s)||=1||γ(s)′||=||T(s)||=1

Un ejemplo sencillo, para entender esto:

Sea una partícula moviéndose por el interior de un cilindro o un cono a una altura 'h' donde el radio es 'R', con una velocidad angular 'w'

La ecuación que describe el movimiento sería:

r⃗ (t)=Rcoswti^+Rsenwtj^+hk^r→(t)=Rcoswti^+Rsenwtj^+hk^

En forma matemáticamente puede representarse mediante una función vectorial α(t)α(t) donde el parámetro es 't'

α(t)=[Rcoswt,Rsenwt,h]α(t)=[Rcoswt,Rsenwt,h]

Derivando:

α′(t)=[−Rwsenwt,Rwcoswt,0]α(t)′=[−Rwsenwt,Rwcoswt,0]

Aplicando módulo:

||α′(t)||=l′(t)=Rw||α(t)′||=l(t)′=Rw

Lo que quiere decir que: s=l(t)=Rwts=l(t)=Rwt y la función t=ϕ(s)=sRwt=ϕ(s)=sRw

Entonces el vector tangente unitario es:

T(t)=α′(t)||α′(t)||=[coswt,senwt,0]T(t)=α(t)′||α(t)′||=[coswt,senwt,0]

Entonces si el parámetro es el tiempo, se tiene que dividir entre el módulo del vector para tener el vector tangente unitario. Sino simplemente es la velocidad de la partícula.

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Ahora lo mismo, pero usando la parametrización de longitud de arco 's'

En forma matemáticamente puede representarse mediante una función vectorial γ(s)γ(s) donde el parámetro es 's'

γ(s)=[Rcos(sR),Rsen (sR),h]γ(s)=[Rcos(sR),Rsen (sR),h]

Derivando:

γ′(s)=[−sen(sR),cos(sR),0]γ(s)′=[−sen(sR),cos(sR),0]

||γ′(s)||=1||γ(s)′||=1

Por lo tanto el vector tangente unitario es simplemente:

T(s)=γ′(s)=[−sen(sR),cos(sR)]T(s)=γ(s)′=[−sen(sR),cos(sR)]

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