¿Hay alguna estructura algebraica con dos elementos neutros? ¿Qué ocurre al multiplicarlos?

Sea ⟨A,⋅⟩⟨A,⋅⟩ una estructura con una operación de tal forma que para todo a,b∈Aa,b∈A entonces a⋅b=ab∈Aa⋅b=ab∈A.

Diremos que nn es un elemento neutro por derecha de ⟨A,⋅⟩⟨A,⋅⟩ si y sólo si n∈An∈A, y ∀a∈A,an=a∀a∈A,an=a. Análogamente un elemento mmsería neutro por izquierda si m∈Am∈A, y ∀a∈A,ma=a∀a∈A,ma=a.

Una conclusión rápida es que si existe neutro por derecha y neutro por izquierda ese elemento neutro será el mismo: mn=mmn=m (por ser nn neutro or derecha) y mn=nmn=n (por ser mm neutro por izquierda). Por lo tanto m=nm=n por ser la identidad == una relación de semejanza (reflexiva, transitiva y simétrica).

En este caso, cuando nn es neutra por izquierda y por derecha, simplemente lo llamaremos el elemento neutro y necesariamente es único. Si imaginamos que existe otro elemento neutro mm, veremos que mn=nmn=n y mn=mmn=m, por lo tanto m=nm=n.

Sin embargo en un sistema sí podrían coincidir dos o más elementos neutros por derecha, o dos o mas elementos neutros por izquierda.

¿Que pasa si m,nm,n son dos elementos neutros por derecha y los operamos? Pues que mn=mmn=m, y nm=nnm=n.