¿Por qué se requiere la asociatividad para las estructuras algebraicas básicas (grupos, anillos, campos, etc.) pero no la conmutatividad?

Se requiere de la asociatividad porque el resultado de la ley de composición interna que se aplica al variar las formas de asociar n elementos de un grupo G (conservando el orden) son iguales….y ésto no pasa con la conmutatividad para todo n de un grupo G

Es decir..si tengo n elementos, por ejemplo, n = 8 y (G,*) grupo → Ley de composición interna genérica

(1 forma de asociar n = 8 elementos de un grupo G (conservando el orden)).

(a*b*c*d*e)*(f*g*h) = (a*b*c)*(d*e*f*g*h)

x = (a*b*c*d)

y = (e*f)

z =(g*h)

(a*b*c*d*e*f) = (a*b*c*d)*(e*f) = xy (conserva el orden)

(e*f*g*h) = (e*f)*(g*h) = yz (conserva el orden)

x(yz) = (xy)z → Propiedad asociativa

→ cumple asociativa

Propiedad conmutativa:

(a*b*c*d)*(e*f*g*h) = (a*b*c*d)*(e*f*g*h) 1 forma cualquiera conservando el orden

x = a*b*c*d

y = e*f*g*h

xy = xy → (a*b*c*d)*(e*f*g*h) no necesariamente es igual a (e*f*g*h)*(a*b*c*d) ya que NO conserva el orden → NO se puede generalizar para todo n de G la propiedad conmutativa.

Cordialmente