¿Cómo se demuestra la asociatividad para funciones diferenciables en (0,1)?

Corrígeme si me equivoco, tu quieres probar que la suma de funciones diferenciables en (0,1)(0,1) es asociativa? o ¿quieres probar que si tienes una función diferenciable en (0,1)(0,1), entonces esta función es asociativa?.

La respuesta a la primer pregunta es obvia, digo, la suma de funciones (diferenciables o no) es asociativa. Recuerda que si ff,gg y hh son funciones, entonces la suma de funciones se define como: (f+g)(x)=f(x)+g(x)(f+g)(x)=f(x)+g(x) para cada xx en el dominio de ambas funciones. De este modo, usando la asociatividad de números reales (tanto f(x)f(x) como g(x)g(x) y h(x)h(x) son números reales para cada xx):

[f+(g+h)](x)=f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x)=[(f+g)+h](x)[f+(g+h)](x)=f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x)=[(f+g)+h](x).

Por otro lado, si lo que tu quieres probar es que cuando tomas una función ff que sea diferenciable en (0,1)(0,1), entonces esta función es asociativa, es decir, quieres probar que si xx, yy, zz son números entre 00 y 11, entonces f(x+(y+z))=f((x+y)+z)f(x+(y+z))=f((x+y)+z), también es posible, debido a que los números reales cumplen la propiedad de asociatividad (en este caso, al igual que el anterior, no importa si la función es diferenciable o no).