¿Cómo se demuestra que si A es la clase que incluye a todos los conjuntos finitos y cofinitos, es sigma-álgebra, si (y sólo si) el espacio es...

Consideremos un espacio XX y la AA el conjunto que contiene a todos los subconjuntos finitos de XX y a todos los subconjuntos cofinitos (cuyo complementario es finito) de XX.

Si el espacio XX es finito, entonces todos sus posibles subconjuntos son finitos (y cofinitos también), y por tanto todos están en AA. Entonces A=P(X)A=P(X), es decir, AA es el conjunto potencia (el conjunto de todos los subconjuntos de XX). Por tanto AA es una σσ-álgebra (el conjunto potencia siempre lo es; puedes probarlo).

Si el espacio XX es infinito podemos tomar infinitos elementos xn∈Xxn∈X (para cada n∈Nn∈N) tal que aún queden infinitos elementos en XX. Para hacerlo piensa que escoges un elemento; lo llamas x1x1; te saltas otro elemento (no lo coges); coges uno nuevo; lo llamas x2x2; te saltas otro elemento; etc. Así estás cogiendo infinitos elementos, y estás dejando sin coger infinitos elementos. Esto se puede hacer porque XX es infinito. Ahora, dado un xnxn considera el conjunto {xn}{xn}. Es finito, por lo que está en AA. Como cada {xn}{xn} está en AA y en una σσ-álgebra deberíamos poder hacer uniones numerables, B=∪∞n=1{xn}B=∪n=1∞{xn} debería estar en AA. Sin embargo, BB no es finito, y su complementario tampoco (pues su complementario es el conjunto de elementos que no escogimos de XX, y dejamos sin coger infinitos), por lo que B∉AB∉A. Por tanto AA no es una σσ-álgebra.

Sin embargo, para XX infinito AA sí es álgebra (no σσ-álgebra).