¿Cómo se demuestra que si x,y están en R^n y son diferentes, existen dos conjuntos abiertos U y V con x en U, y en V tales que su intersección es...

Si la redacción de la pregunta coincide exactamente con lo que se quiere preguntar, la respuesta es trivial.

El conjunto total, esto es, R^n, es abierto (suponemos, ya que no se especifica otra cosa, que la topología de R^n que se está considerando es la usual, inducida por la métrica euclídea d(x,y)=||x-y||); R^n contiene a x, y también contiene a y, luego tomando

U = R^n, V = R^n, queda demostrado lo que se pedía, pues la intersección es todo R^n, no vacía, por tanto.

Si se quiere afinar más, se puede exigir que los abiertos U y V sean acotados y además distintos, y en ese caso bastaría tomar U = B(x; 2||x-y||), V=B(y; 2||x-y||). Las bolas abiertas son conjuntos abiertos, no vacíos (pues contienen al punto centro, x,y en cada caso) y acotados (están contenidos en una bola, ella misma), y en este caso tanto x como y pertenecen al mismo tiempo a U y a V, luego la intersección de U y V es no vacía. Evidentemente, no es U=V, pues si en cualquier espacio R^n, siendo r>0,

se cumple B(x;r) = B(y;r), esto implica x=y, c.q.d.