¿Cuál es la ecuación de una superficie cilíndrica en coordenadas esféricas?

La superficie lateral de un cilindro es

S=2πρzS=2πρz

con ρρ el radio del cilindro y z la altura.

Las coordenadas cilíndricas están relacionadas con la esfera a través de

ρ=Rsinθρ=Rsin⁡θ

z=Rcosθz=Rcos⁡θ

donde R sería la distancia entre el centro de la circunferencia de la base a cualquiera de los puntos de la circunferencia de la parte superior, mientras que θθ sería el ángulo formado por R respecto al eje z. Por tanto

S=2πR2sinθcosθS=2πR2sin⁡θcos⁡θ

sería la superficie lateral.

Si queremos toda la superficie, tendríamos que añadir

S=2πρ2S=2πρ2

que serían las superficies de los círculos superior e inferior, y por tanto

S=2πR2sin2θS=2πR2sin2⁡θ

y la superficie total sería

ST=2πR2sinθ(sinθ+cosθ)ST=2πR2sin⁡θ(sin⁡θ+cos⁡θ)