¿Cómo es que se ha calculado el número máximo de posiciones posibles en el ajedrez? ¿Cuál pudo haber sido el método usado para tomar en cuenta...

Que yo sepa nunca se ha calculado exactamente el número de posiciones posibles en un tablero de ajedrez, sí algunas estimaciones y cotas superiores.

Se sabe, por ejemplo, que el número de posiciones posibles después de 10 jugadas desde la posición inicial, es

165.518.829.100.544.000.000.000.000, algo más de 165 cuatrillones y medio.

El número de posiciones posibles, con todas las piezas, "a lo bruto", es claramente:

[64↓32] * [32!/(8!*2!*2!*2!*1!*1!)²]. El problema estaría resuelto si se considerara cada pieza como una figurita de adorno, o una letra diferente de las demás. Es decir, primero elegimos las 32 casillas donde va a ir alguna pieza, y después consideramos las permutaciones con repetición de 8 peones blancos, 2 torres blancas, 2 alfiles blancos, 2 caballos blancos, una dama blanca y un rey blanco, y las mismas permutaciones de las negras, de ahí el cuadrado del denominador.

Salen 4634726695587809641192045982323285670400000 posiciones posibles.

Son 43 cifras:más de 4.6 septillones.

De éstas, muchísimos trillones (o quintillones…) son posiciones ilegales, donde por ejemplo, los dos reyes están "besándose", o ambos reyes están en jaque, o alguno o varios peones están en la fila 8, si son blancos o en la fila 1 si son negros, o están los peones doblados de tal modo que es imposible que ninguna serie de capturas los doble de ese modo (por ejemplo, 4 peones blancos en a1, a2, a3, a4 y un peón blanco en b2: no hay modo de llegar a esa posición con movimientos legales); o bien, una torre, alfil o dama o hasta el rey por fuera de su cadena de 8 peones, o incluso menos peones, de modo que esa pieza no puede haber salido por ningún sitio desde la posición inicial…

Y por supuesto, las posiciones con 31 piezas, con 30, con 29…y con dos piezas (ambos reyes), incluyendo varias damas del mismo color -o torres, o caballos o alfiles coronados-, se pueden calcular aparte "a lo bruto" (esto es, admitiendo posiciones ilegales) del mismo modo y sumarlas a este número enorme de posiciones con todas las piezas.

Aunque sería más rápido -creo- pensar en una casilla inexistente, como a9 y permitir que esa "casilla" pueda ser ocupada simultáneamente por tantas piezas como se quiera, con excepción de los dos reyes: la casilla a9 sería la CAJA donde se guardan las piezas no utilizadas.

Por lo tanto, ese número total exorbitante, que habríamos calculado con relativa facilidad, no es el verdadero, pero sí que nos sirve como una cota superior del número de posiciones posibles.

Una manera de estimar la cifra real (se me ocurre) es emplear alguna variante del método de Montecarlo, que surgió en la mente prodigiosa de Ulam (allá por 1944) mientras hacía solitarios de cartas en Los Álamos, y se preguntaba por la probabilidad de ganar, para descansar de su agotadora labor en el Proyecto Manhattan, donde trabajaba junto a su amigo Johnny Von Neumann y varios otros "principiantes".

Es decir, se podrían colocar pseudoaleatoriamente todas las piezas y sus posibles subconjuntos que contengan ambos reyes, usando un programa sencillo de ordenador, obtener así unos cuanto millares de millones de posiciones, e incluir una instrucción de programa que cuente cuántas de éstas son ilegales. Si la muestra es lo suficientemente amplia, el teorema central del límite asegura que "probablemente" encontraremos la probabilidad real de que una posición sea ilegal, de manera "bastante aproximada" (cerremos los ojos a los detalles minuciosos, como hicieron aquellos genios que construyeron la primera bomba atómica, porque si se hubieran exigido asegurar muchos millares de detalles técnicos todavía estarían calculando, para beneficio de Hiroshima y Nagasaki…).

A partir de ahí, habríamos determinado qué proporción (aproximada) del número total de posiciones "brutas" son ilegales, y tendríamos como complementario, el número de posiciones posibles…

"y" legales (¡¡"y" griega, no latina!!).

Juzgo oportuno recordar aquí las geniales y divertidas palabras de Gauss:

"Donde se observa más la falta de instrucción en matemáticas es en el cálculo aritmético desmedidamente riguroso".