¿Por qué es importante la distribución normal?
Notas de Estudio
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Aprendiendo con Apuntes
¿Por qué es importante la distribución normal?
Pues la distribución normal[1] es importante por dos razones:
Primero, porque el teorema central del límite [2]asegura que, bajo condiciones muy generales, la suma de variables aleatorias independientes convergerá a una distribución normal a medida que el numero de variables que se suman crece.
Segundo, porque la distribución normal es muy cómoda y fácil de manipular matemáticamente. Por ejemplo:
- Sólo depende de dos parámetros, la media[3] y la varianza[4] de la distribución.
- Estos parámetros se pueden estimar con mucha facilidad, a través de estadísticos como la media muestral[5] o la varianza muestral[6], entre otros, por lo que resulta fácil ajustar este modelo de probabilidad a una muestra concreta.
- La suma (o diferencia) de variables normales se distribuye como una normal.
- El producto de una constante por una variable normal se distribuye como una normal.
- La distribución normal se extiende fácilmente al caso multivariante, esto es, cuando no estamos interesados en la distribución de una única variable, si no de todo un vector de variables aleatorias.
- …y así sucesivamente.
Por último quiero añadir que, como indica en su , la facilidad para usar la distribución normal ha motivado que se abuse de ella, aplicándola en terrenos donde ha creado graves perjuicios, tales como en el campo de las finanzas, en la estimación de retornos futuros en diferentes clases de activos y medición del riesgo en función de la volatilidad. Por ejemplo la distribución de las variaciones de los precios de acciones o índices de acciones responden más a una distribución exponencial o a una t de Student que a una normal y muchos de los modelos empleados en la industria (basados en la normal) infravaloran los riesgos potenciales de una inversión.
Nota: En mis respuestas, me gusta añadir enlaces a los artículos que ofrece la versión castellana de Wikipedia sobre los términos técnicos que empleo. En esta ocasión me he visto obligado a añadir enlaces a la versión inglesa porque, desgraciadamente, el contenido de algunos de los artículos relevantes en castellano no es del todo correcto.
:-(
Notas al pie
Jojo
La distribución normal es la más importante por su simplicidad, porque aparece frecuentemente en la realidad y por una propiedad especial llamada Teorema del Límite Central. La comprensión de su naturaleza y su papel en la inferencia estadística es esencial. Es una pena la denominación de normal pues no es más “normal” que las otras y ello causa frecuentes confusiones, sobre todo en medicina, donde normal, es más bien lo que no es patológico. Para evitar la confusión muchos usan Normal con mayúsculas y aquí haremos lo mismo; otros hablan de distribución gaussiana o de campana de Gauss a pesar que fue Abraham de Moivre el primero en describirla y Gauss solo la popularizó.
La distribución Normal:
- Tiene forma de campana.
- Es simétrica.
- Alcanza su máximo en µ (la media).
- La media es también la moda y la mediana.
- Es asintótica al eje de las abscisas y, como no lo toca nunca, cualquier valor de X entre -infinito y +infinito es teóricamente posible.
- La posición relativa en el eje de las abscisas lo determina µ (más a la derecha mientras mayor sea) y su mayor o menor aplastamiento o ancho lo determina σ (la desviación estándar), siendo más aplanada mientras mayor sea su magnitud (Figura 1). Esta característica se denomina curtosis (del griego, curvado): angosta o leptocúrtica (literalmente, curva angosta), media o mesocúrtica y ensanchada o platicúrtica (literalmente, curva ancha) (Figura 2). La altura de la curva carece de importancia o uso en la práctica.
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