¿Cuál es la solución de y''+4y=3sin(2x) por el método de coeficientes indeterminados?

Probamos la solución particular y₀(x) = p(x) cos 2x + q(x) sen 2x, donde p(x) y q(x) son polinomios en x que debemos determinar.

Para derivar dos veces seguidas un producto podríamos derivar una vez y luego otra, pero podemos también emplear la bella fórmula de Leibniz para la derivada n-ésima de un producto, análoga a la del binomio de Newton, solo que sustituyendo los exponentes por órdenes de derivación:

(uv)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾ v + [n↓1] u⁽ⁿ⁻¹⁾ v⁽¹⁾ +…+ [n↓n] u v⁽ⁿ⁾

En el caso de dos derivaciones, n=2, y la fórmula se reduce a :

(uv)'' = (uv)⁽²⁾ = u''v + 2u'v' + uv'' →

y₀''(x) = [p(x) cos 2x ]'' + [q(x) sen 2x]'' =

= p''(x) cos 2x + 2 p'(x) * (-2) sen 2x + p(x) *(-4) cos 2x +

+ q''(x) sen 2x + 2 q'(x) *2 cos 2x + q(x) * (-4) sen 2x =

= [p''(x) - 4 p(x) +4 q'(x) ] cos 2x + [ - 4 p'(x) + q''(x) -4 q(x) ] sen 2x ;

por tanto, si queremos que y₀(x) sea solución particular de la ecuación diferencial propuesta, deberá ser (idénticamente) : y₀''(x) + 4 y₀(x) = 3 sen 2x →

[p''(x) - 4 p(x) +4 q'(x) +4 p(x) ] cos 2x + [ -4 p'(x) + q''(x) -4 q(x) +4 q(x) ] sen 2x =

= 3 sen 2x ; luego deberemos buscar valores de los coeficientes indeterminados, es decir, de p(x) y de q(x), que verifiquen:

p''(x) - 4 p(x) +4 q'(x) +4 p(x) = 0

-4 p'(x) + q''(x) -4 q(x) +4 q(x) = 3 ; simplificando ambas ecuaciones:

p''(x) +4 q'(x) = 0 ; (1)

-4 p'(x) + q''(x) = 3 ; (2)

De la primera se deduce q'(x) = -p''(x)/4, luego, derivando, q''(x) = -p'''(x)/4

Sustituyendo en la segunda: -4 p'(x) - p'''(x)/4 = 3 (*) ; tomando en cuenta que p(x) es un polinomio, p'(x) también lo será; y si el grado de p'(x) fuera 1, o mayor que 1, como el grado de su segunda derivada p'''(x) debe ser menor que el de p'(x), sería imposible que

-4 p'(x) - p'''(x)/4 fuera igual a una constante (3 en este caso). Así pues, p'(x) debe ser una constante, digamos p'(x) = k, donde k es un número real. Por tanto,

p'''(x) = 0 → de (*) resulta -4k =3 → k = -3/4 ; pero si p'(x) = -3/4 → integrando,

p(x) = -3x/4 + C; como solo nos interesa una solución particular concreta, tomemos

C = 0 → p(x) = -3x/4 ; sustituyendo este valor en (2) para hallar q(x) →

- 4*(-3/4) + q''(x) = 3 → q''(x) = 0 → integrando dos veces q(x) = ax + b, donde las constantes a, b son arbitrarias, pero como estamos buscando una solución particular, podemos tomar a = 0, b = 0, de modo que q(x) = 0.

Así que se cumplen (1) y (2) si tomamos los polinomios

p(x) = (-3/4) x

q(x) = 0

Hemos hallado así la siguiente solución particular de la ecuación diferencial dada:

y₀(x) = p(x) cos 2x + q(x) sen 2x , es decir,

y₀(x) = (-3/4) x cos 2x .

La comprobamos (tantos cálculos sin intervenir los duendes sería una gran suerte):

y₀''(x) + 4 y₀(x) = [(-3/4) cos 2x + (-3/4) x *(-2) sen 2x]' + 4 * (-3/4) x cos 2x =

= [(-3/4) cos 2x + (3/2) x sen 2x]' - 3 x cos 2x =

= (-3/4) * (-2) sen 2x + (3/2) sen 2x + (3/2) x * 2 cos 2x - 3 x cos 2x =

= (3/2) sen 2x + (3/2) sen 2x + 3 x cos 2x - 3 x cos 2x =

= 2 * (3/2) sen 2x = 3 sen 2x → ¡EUREKA! → y₀(x) verifica y'' + 4y = 3 sin(2x) →

y₀(x) = (-3/4) x cos 2x ES LA SOLUCIÓN PARTICULAR BUSCADA.

SOLUCIÓN GENERAL:

Sabemos que sumando una solución particular a la solución general de la ecuación homogénea asociada obtenemos la solución general de la ecuación dada.

Como la ecuación lineal y homogénea, de segundo orden, con coeficientes constantes y'' + m² y = 0, donde m es cualquier número real positivo, tiene por solución general y = r₁ cos mx + r₂ sen mx (resultado fundamental de la teoría de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden), en el caso actual será m² ⁼ 4 →

m = +√4 → m = 2, luego la solución general de la ecuación homogénea asociada,

y'' + 4 y = 0 , es:

y = r₁ cos 2x + r₂ sen 2x.

Por tanto, la solución general de la ecuación dada, y'' + 4y = 3 sin(2x), obtenida por el método de coeficientes indeterminados, como se pedía, es:

y = r₁ cos 2x + r₂ sen 2x - (3/4) x cos 2x, o bien, agrupando cosenos:

y = (r₁ - 3x/4) cos 2x + r₂ sen 2x , donde r₁ y r₂ son constantes cualesquiera.