¿Cómo resuelvo esta ecuación diofántica y encuentro los números integrales 2x^2-x+2y^2-4y=135?

Se trata de resolver una ecuación diofántica cuadrática.

Viendo el problema geométricamente, es la ecuación de una cónica, salvo casos degenerados o singulares (una elipse imaginaria, una circunferencia, un segmento de recta, un solo punto …).

La ecuación cuadrática con dos incógnitas se puede siempre poner en forma canónica.

2x² - x + 2y²- 4y - 135 = 0 → ordenando, 2x² + 2y² -x - 4y - 135 = 0 ($)

Por el interés de este problema, que está encuadrado en uno de los pocos casos de ecuaciones diofánticas que sabemos resolver completamente, como es la ecuación diofántica cuadrática con dos incógnitas, daré tres respuestas distintas, o mejor dicho, tres métodos distintos de abordar el problema.

PRIMER MÉTODO

Si solo nos interesa averiguar todas las soluciones, sin comprender cómo se aborda el problema matemáticamente, y tenemos prisa o el lector no está especialmente interesado en la teoría de números, el método práctico ideal es acudir a la excelente página WEB de Dario Alpern, que entre otras muchas utilidades y algoritmos de la teoría de números, resuelve online este tipo de ecuaciones, ingresando los valores numéricos de los coeficientes.

Resolución de ecuaciones cuadráticas en dos variables enteras

El resultado es que hay exactamente dos soluciones:

x = -7 ; y = 5 // x = -7 ; y = -3

SEGUNDO MÉTODO

Este método permite resolver "a mano" la ecuación dada, siempre que los datos no sean demasiado grandes, sin acudir a conocimientos matemáticos superiores a la enseñanza secundaria.

Sencillamente, despejamos x en función de y ; luego acotamos los valores de y para que el radicando del radical cuadrático, que es un trinomio cuadrático en y, sea no negativo, y entre esos valores (en cantidad finita, puesto que se trata de una elipse) seleccionamos los que producen valores enteros para x.

Se puede mejorar la eficiencia de este método despejando también y en función de x, eligiendo después la posibilidad que obligue a efectuar menos pruebas.

Por tanto, ordenando la ecuación propuesta con respecto a x :

2x² - x + (2y² - 4y - 135) = 0 .

Tomamos x como incógnita, así tenemos una ecuación cuadrática en x :

x = { 1 ± √ [1 - 8 (2y² - 4y - 135)] } / 4 → operando:

x = [ 1 ± √ (-16y² + 32 y + 1081) ] / 4 (€)

Resolvamos la inecuación cuadrática en y :

-16y² + 32 y + 1081 ≥ 0 → 16 y² - 32 y -1081 ≤ 0.

Como sabemos, para que el trinomio, con signo positivo en su coeficiente principal, sea no positivo es necesario y suficiente que su variable (y) esté comprendida entre las raíces o sea una de ellas.

Las dos raíces (reales) de

16 y² - 32 y -1081 = 0 son

y = [ 16 ± √ (16² + 16 * 1081) ] / 16 → y₁ = 9.28… ; y₂ = - 7.28…

De modo que y, siendo entera, debe verificar la limitación o doble desigualdad:

- 8 ≤ y ≤ 9 →

por tanto, habría que probar 18 valores posibles de y.

Despejando igualmente y en función de x :

2x² + 2y² -x - 4y - 135 = 0 → 2y² - 4y + (2x² - x - 135) = 0

y = [ 2 ± √ (- 4x² + 2x + 274) ] / 2 → la inecuación para x es:

- 4x² + 2x + 274 ≥ 0 → 4x² - 2x - 274 ≤ 0

Las raíces del trinomio cuadrático en x son:

x₁ = 8.53… ; x₂ = -8.03… → siendo x entera, debe ser:

-8 ≤ x ≤ 8 → hay, en principio, 17 valores de x que deben revisarse.

Como 17 < 18, ganamos en este caso poco, pero algo sí abreviamos, si probamos los valores candidatos para x, en lugar de probar los valores candidatos para y.

X = - 8 no sirve, por no dar un cuadrado perfecto para el trinomio radicando.

Con x = - 7 → y = [ 2 ± √ (- 4x² + 2x + 274) ] / 2 →

y = ( 2 ± 8 ) / 2 → y = 5, o bien y = -3 ; por tanto, son soluciones:

x = - 7 ; y = 5 // x = -7 ; y = - 3.

Los demás valores de x, entre - 6 y 8 no producen un cuadrado perfecto en el radicando - 4x² + 2x + 274, de modo que las únicas dos soluciones enteras son las ya citadas, en sintonía con el cálculo que nos ofrece la página WEB de Darío Alpern.

El número de pruebas con este método se puede reducir empleando consideraciones especiales como las congruencias respecto a diversos módulos, que permiten descartar muchos valores sin tener que probarlos.

TERCER MÉTODO

Podrían emplearse procedimientos ad hoc, poco claros por ser demasiado particulares, y no generalizables a todos los casos posibles, por lo cual prefiero exponer aquí el más largo pero infalible método general, que empieza por la reducción de la ecuación de la cónica (representada por la ecuación cuadrática con dos incógnitas) a su forma canónica, maniobra operativa de interés también en geometría analítica.

En tal caso general, dada la ecuación cuadrática general con dos incógnitas:

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 (*) ; sea F(x,y) = ax² + bxy + cy² + dx + ey + f.

es decisivo el signo del discriminante ∆ = b² - 4ac.

En este caso, es

∆ = b² - 4ac = 0² - 4*2*2 = -16.

Por ser negativo se trata de una elipse (si fuera positivo sería una hipérbola y si fuera cero, una parábola, salvo que se produzca excepcionalmente alguno de los casos singulares clasificados en geometría analítica).

Por tanto el número de soluciones enteras (x,y) (con x, y enteros positivos, negativos o nulos) es finito, tal vez cero.

En la ecuación general (*), supuesto que sea a > 0, como en el caso actual, para la reducción a forma canónica multiplicamos todos los términos por 4a :

4a²x² + 4abxy + 4acy² + 4adx + 4aey + 4af = 0 ; se puede seguir manipulando algebraicamente esta ecuación, y no es nada difícil obtener la reducción, pero como es muy laborioso de teclear todo el cálculo, podemos atajar con el truco mnemotécnico que nos va a abreviar el trabajo:

se suma y se resta el cuadrado de la derivada parcial del primer miembro de la ecuación inicial (*), respecto de x, que es como sumar cero: un gran artificio del álgebra clásica que tiene muchas utilidades.

∂F(x,y) / ∂x = 2ax + by + d.

(2ax+by+d)² - (2ax+by+d)² + 4a²x²+4abxy+4acy²+4adx+4aey+4af = 0

(2ax+by+d)² + (4ac - b²) y² + (4ae - 2bd) y + (4af - d²) = 0, o sea,

(2ax+by+d)² - ∆ y² + (4ae - 2bd) y + (4af - d²) = 0 .

Multiplicando por ∆:

∆ (2ax+by+d)² - ∆² y² + ∆ (4ae - 2bd) y + ∆ (4af - d²) = 0 .

Queremos obtener una suma de cuadrados en el primer miembro, de modo que sustituyamos y = z + k , y determinemos luego k para que se anulen los términos lineales.

∆ (2ax+by+d)² - ∆² (z + k)² + ∆ (4ae - 2bd) (z+k) + ∆ (4af - d²) = 0 .

∆ (2ax + by + d)² - ∆² z² - 2 ∆² z k - ∆² k² + ∆ (4ae - 2bd) z +

+ ∆ k(4ae - 2bd) + ∆ (4af - d²) = 0 →

∆ (2ax+by+d)² - ∆² z² + (4ae∆ - 2bd∆ - 2 ∆² k) z + ∆ k(4ae - 2bd) +

+ ∆ (4af - d²) - ∆² k² = 0 → para que se anule el término en z, sea:

4ae∆ - 2bd∆ - 2 ∆² k = 0 → k = (4ae∆ - 2bd∆) / 2 ∆² →

k = (2ae - bd) / ∆.

Sustituyendo este valor de k, tendremos:

∆ (2ax+by+d)² - ∆² z² + ∆ k(4ae - 2bd) + ∆ (4af - d²) - ∆² k² = 0 →

∆ (2ax+by+d)² - ∆² z² + (2ae - bd) (4ae - 2bd) +

+ ∆ (4af - d²) - (2ae - bd)² = 0 , o bien:

∆ (2ax+by+d)² - ∆² z² = - (2ae - bd) (4ae - 2bd) - ∆ (4af - d²) + (2ae - bd)² ; volviendo a sustituir z = y - k , o sea, z = y - (2ae - bd) / ∆ ,

∆ (2ax+by+d)² - ∆² [y - (2ae - bd) / ∆]² =

= (2ae - bd)² - (2ae - bd) (4ae - 2bd) - ∆ (4af - d²) ; dividiendo finalmente por ∆, se obtiene la forma reducida para la elipse:

(2ax+by+d)² + ( - ∆ ) [y - (2ae - bd) / ∆]² =

= [(2ae - bd)² - (2ae - bd) (4ae - 2bd) - ∆ (4af - d²)] / ∆ (&)

Este cálculo no hay que volver a repetirlo, basta tenerlo apuntado para todos los casos similares a éste.

Aplicando a la ecuación dada 2x² + 2y² - x - 4y - 135 = 0 este método general (ya no hay que repetirlo más veces, se puede copiar (&) y sustituir los valores numéricos en cada caso) :

a = 2 // b = 0 // c = 2 // d = - 1 // e = - 4 // f = - 135 // ∆ = - 16

2ae - bd = -16 ; 4ae - 2bd = - 32 ; 4af - d² = - 1081 →

(4x - 1)² + 16 (y - 1)² = [16² + 16 * (-32) + 16 * (-1081)] / (-16) →

(4x - 1)² + 16 (y - 1)² = 1097, que es la forma canónica, transformada ya la ecuación propuesta en suma de cuadrados.

Tomando 4x - 1 = u ; y - 1 = v, tenemos la ecuación cuadrática

reducida u² + 16 v² = 1097 ; evidentemente, siendo enteros x, y deben serlo u, v ; pero no necesariamente se cumple la recíproca; por lo cual deberemos hallar todas las soluciones enteras en u, v , y ver si convienen porque den valores enteros para x, y ; lo cual sucederá si y solo si u+1 es múltiplo de 4 (puesto que 4x - 1 = u ).

La acotación es la manera más simple de encontrar todas las soluciones, porque solo hay un número finito de ellas en el caso de una elipse, que es un recinto acotado en el plano.

En este caso concreto además podemos usar las propiedades de los números que son suma de dos cuadrados, siendo una simplificación el hecho de que 1097 sea primo → u² + (4v)² = 1097 → soluciones u = ±29, 4v = ±16 (no vale 4v = ±29, evidentemente, pues 4v es par) → y de aquí

4x-1 = ± 29 ; 4(y-1) = ± 16 → soluciones únicas →

x = -7 ; y = 5 // x = -7 ; y = -3