¿Son las integrales exactas o aproximadas?

Sí, claro que son exactas. Las integrales se definieron hacia el siglo XVI o XVII, aunque el concepto no quedó definitivamente asentado hasta Isaac Barrow, antecesor de Isaac Newton en la cátedra lucasiana de matemáticas. Barrow dio una célebre fórmula que relacionaba el cálculo de integrales con las derivadas, llamada regla de Barrow, que modernamente escribimos como:

∫baf′(x) dx=f(b)−f(a)∫abf′(x) dx=f(b)−f(a)

Esta regla fue generalizada luego al importantísimo teorema de Stokes para n-formas a principios del siglo XX (en el siglo XIX se dieron una serie de generalizaciones parciales debidas a Gauss y Stokes); ese teorema es una de las piezas fundamentales de la matemática del siglo XX [otra causalidad: la persona que actualmente ocupa la cátedra lucasiana que ocuparon Barrow y Newton, no es otra que Stephen Hawking].

Todo el asunto de si las integrales son exactas o aproximadas deriva de la primera formalización rigurosa que dio de ellas Riemann en el siglo XIX. Riemann era un joven ansioso que tuvo que retrasar la presentación de su tesis doctoral porque Gauss estuvo gravemente enfermo, de hecho poco tiempo después tras la presentación de la tesis de Riemann, Gauss falleció. El caso es que la carcterización de Riemann partía de la intuición de que:

limn→∞(∑i=0nf(xi)Δx)=∫baf(x) dxlimn→∞(∑i=0nf(xi)Δx)=∫abf(x) dx

Es decir, que se definía una integral como el límite ideal al que tiende una serie de aproximaciones sucesivas. Eso suscita la idea de si la integral es algo exacto o una aproximación numérica conveniente. De hecho, es lo primero, algo exacto y perfectamente bien definido, gracias a que durante el siglo XIX se definió de manera totalmente rigurosa el concepto de límite. Ni Barrow, ni Newton, ni Euler, ni otros matemáticos del pasado se habían preocupado de fundamentar de manera totalmente rigurosa el concepto de integral, más allá de las necesidades operativas. Si bien la formulación de Riemann es un pelín más complicada de lo que presento aquí, la idea básica es clave:

el valor numérico de una integral puede definirse rigurosamente como el límite de una sucesión de números que se van acercando cada vez más a un cierto límite. Con lo cual es una expresión exacta.

Aunque en la práctica se puede tomar un número de la sucesión como valor práctico o aproximado de la integral para fines prácticos, en muchos casos nada impide calcular el límite de manera exacta y sin aproximación alguna.

El gran Bernhard Riemann, gracias a cuyos trabajos muchas áreas de las matemáticas prácticamente empezaron a existir.