¿Pueden las integrales dobles ser utilizadas con una sola variable? ¿Por ejemplo para hallar una primitiva segunda?

Voy a responder primero a lo que me parece que quieres decir, y luego haré un comentario sobre lo que parece que has dicho.

Me parece que no preguntas sobre integrales dobles, sino sobre integrar dos veces. Esto es perfectamente válido: Si es posible integrar una vez, es más que posible integrar una segunda vez. Digamos que tienes una función ff en un intervalo [a,b][a,b] (podríamos incluir a=−∞a=−∞ y/o b=∞b=∞ abriendo paréntesis) que es Riemann-integrable en ese intervalo, o Riemann-integrable de forma impropia que es como se dice si el intervalo tiene un infinito (pongo el prefijo "Riemann" porque hay otros tipos de integral, como comentaré más adelante). Entonces la función

F(x)=∫xaf(t)dtF(x)=∫axf(t)dt

es continua en [a,b][a,b]. Si estuviéramos en el caso a=−∞a=−∞ elegiríamos un punto c<bc y definiríamos FF igual sustituyendo aa por cc. Sé que normalmente antes de la universidad la primitiva no se expresa así, sino que se expresa como

F(x)=∫f(x)dxF(x)=∫f(x)dx,

por lo que usaré esta última notación (pido disculpas si a alguien le causa molestia), pero quería escribirlo primero como es realmente.

Entonces sabemos que nuestra F(x)F(x) es continua. Hay un resultado que dice que las funciones continuas son integrables (Riemann-integrables quiero decir), por lo que podemos hacer

G(x)=∫F(x)dx=∫(∫f(x)dx)dxG(x)=∫F(x)dx=∫(∫f(x)dx)dx

sin problema. Eah. Ya has integrado dos veces.

Ahora bien, si lo que buscas es que esta función GG tenga como segunda derivada nuestra ff del principio, hay que pedir algo más.

Lo primero es que tenemos que darnos cuenta de que la FF que obtuvimos no es única: está la famosa constante de integración. Así que para cada número CC real tenemos una

F(x)=∫f(x)dx+CF(x)=∫f(x)dx+C.

Fíjate que al integrar de nuevo para obtener GG estamos integrando también CC, y además aparecerá una nueva constante de integración DD, por lo que GG tampoco es única, ya que

G(x)=∫F(x)dx+D=∫(∫f(x)dx)dx+Cx+DG(x)=∫F(x)dx+D=∫(∫f(x)dx)dx+Cx+D

(parece que es "aún menos única" que FF ya que hay dos parámetros distintos).

Para la primera derivada no hay problema. El Primer Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que como FF es continua entonces

G′(x)=F(x)=∫f(x)dx+CG′(x)=F(x)=∫f(x)dx+C.

Sin embargo para hacer la segunda derivada necesitamos que ff sea continua, cosa que si te fijas no habíamos asumido, pues hay funciones discontinuas que son Riemann-integrables. Si ff no es continua, entonces al derivar GG por segunda vez nos quedaría una función discontinua, por lo que GG en realidad no era dos veces derivable. Si por el contrario ff es continua, entonces volvemos a aplicar el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, ahora para FF, y nos queda

G′′(x)=F′(x)=f(x)G″(x)=F′(x)=f(x),

por lo que ff es la segunda derivada de GG (o GG es como una "segunda primitiva" de ff).

FIN

Ahora el comentario sobre integrales dobles:

Las integrales dobles están definidas para funciones de dos variables f(x,y)f(x,y), que se pueden representar en tres dimensiones. La idea es que para cada punto del plano (x,y)(x,y) corresponde una sola imagen f(x,y)f(x,y) en el eje ZZ. Si la función es continua (y en muchos otros casos) esta representación se ve como una superficie tridimensional.

Igual que normalmente pensamos en una integral como "el área bajo la curva", las integrales dobles se pueden pensar normalmente como "el volumen bajo la superficie".

La integral doble se puede generalizar a más dimensiones (a RnRn), que a su vez se puede generalizar a otros espacios que no sean RnRn. Pero eso es meterse en teoría de la medida. Lo que pasa es que en realidad estas integrales no están definidas como las que hemos conocido primero (las integrales de Riemann), sino que están definidas usando medidas (normalmente la medida de Lebesgue, por lo que suelen ser integrales de Lebesgue), aunque es cierto que la integral de Lebesgue está relacionada con la de Riemann en muchos casos. Por ejemplo, en la imagen de arriba la primera integral doble está escrita como una integral de Lebesgue, mientras que después está escrita como dos integrales de Riemann.

En integración se usan resultados generales muy útiles para el cálculo de la integral; como las relaciones entre integrabilidad-Riemann e integrabilidad-Lebesgue, o como el teorema de Fubini, bajo el cual tenemos permitido intercambiar la primera integral por la segunda en una integral doble (que a veces conviene para el cálculo de éstas).

Esto es todo un mundo, y requiere algo de lectura sobre el tema para integrarse en él.