¿Por qué el teorema del intervalo anidado necesita que los intervalos sean cerrados?

Lo primero es dar un enunciado correcto (puede haber varios equivalentes, por supuesto) del teorema de los intervalos anidados (también se emplea la palabra "encajados"; en buen castellano, se usa más la expresión en plural, porque un intervalo solo no se puede "anidar", salvo que lo aceptemos por definición: son infinitos intervalos los que se anidan o encajan, o al menos una cantidad finita, pero mayor que 1).

Si consideramos la recta real ℝ, como es archiconocido, se define el intervalo cerrado (de longitud finita, y no nula, como se sobrentiende siempre si no se avisa lo contrario) con extremos a y b, siendo a y b números reales tales que a < b como el conjunto de números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b; se representa este intervalo cerrado como [a , b].

Si fuera a = b también se le puede llamar "intervalo cerrado" (de longitud cero, o nula) al conjunto [a , b] = [a, a], solo que entonces se reduce ese "intervalo" al punto a, o al número a.

El teorema de los intervalos encajados -o anidados- afirma:

Teorema: Consideremos una sucesión infinita numerable de intervalos cerrados (de longitud finita, que puede ser nula o no serlo) tales que:

1) I₀ = [a₀, b₀], siendo a₀ ≤ b₀ ; I₁ = [a₁, b₁], siendo a₁ ≤ b₁, … Iₙ = [aₙ, bₙ], siendo aₙ ≤ bₙ, …etc.

2) Para todo n natural, es Iₙ ⊃ Iₙ₊₁ ; esto es, cada intervalo contiene al siguiente, como las matrioskas o muñecas rusas. Toda sucesión infinita de intervalos que cumpla esta condición, se llama encaje de intervalos o sucesión de intervalos encajados o sucesión de intervalos anidados.

3) Si representamos la longitud del intervalo n-ésimo por L(Iₙ) = bₙ - aₙ, se verifica que

L(Iₙ) → 0 cuando n → ∞ .

En estas condiciones, la intersección de todos los intervalos de la sucesión es no vacía y se reduce a un solo punto -o número real- ; esto es, existe un único número real w que pertenece a todos los intervalos de la sucesión infinita de intervalos; abreviadamente,

∃! w Є ℝ / ∩(Iₙ) = {w} (donde n recorre todos los números naturales a partir del cero).

La demostración no es difícil, pero sí muy precisa: debe conocerse a fondo, y puede consultarse en cualquier buen libro de introducción al análisis matemático, como Principios de Análisis Matemático de Walter Rudin o tantos otros.

La pregunta requiere porqué es necesaria la hipótesis de que todos los intervalos de la sucesión sean cerrados, y la respuesta es ésta:

se puede, naturalmente, considerar sucesiones de intervalos -de longitud finita- que no sean todos ellos cerrados o incluso que no lo sea ninguno de ellos; pero entonces puede ser que no se cumpla la tesis del teorema. Cuando se muestra un ejemplo de este tipo, en que no se cumple cierta propiedad, en matemáticas se suele llamar contra-ejemplo.

Un contra-ejemplo sencillo sería, en este caso, la sucesión de intervalos:

(0,1) , (0, 1/2) , (0, 1/3) , … (0, 1/n) , …etc. Se cumplen todas las hipótesis del teorema de los intervalos anidados excepto la que exige que sean todos ellos cerrados.

En efecto, son intervalos de longitud finita, están anidados

I₀ = (0,1) ⊃ I₁ = (0, 1/2) ⊃ I₂ = (0, 1/3) ⊃ … ⊃ Iₙ = (0, 1/n) ⊃ …etc. y además

L(Iₙ) = 1 / (n + 1), por lo cual, la longitud del intervalo n - ésimo tiende a cero cuando n tiende a infinito:

1 / (n + 1) → 0 cuando n → ∞

Sin embargo, la intersección de toda la familia infinita de intervalos anidados es el conjunto vacío; en efecto, siendo x Є ℝ, si para todo n Є ℕ , fuera x Є Iₙ, sería para todo n natural,

0 < x < 1/(n+1) . Por la propiedad arquimediana, existe cierto N natural tal que 1 / N < x →

1 / (N + 1) < 1 / N < x → 0 < 1 / (N + 1) < x , luego x no pertenece al intervalo (N + 1) -ésimo, en contra de la hipótesis de que x pertenecía a todos los intervalos del encaje.

Esta contradicción prueba que no existe tal x que pertenezca a todos los intervalos anidados, y demuestra la validez del contraejemplo.

Cuando se estudia topología. se ve la fuerza de este teorema, que se puede generalizar mucho más, por ejemplo, extendiéndolo a todo espacio métrico, con ciertos retoques.

Por ejemplo:

Si {Kₙ} es una sucesión de subconjunto compactos no vacíos del espacio métrico (X, d),

y son anidados, Kₙ ⊃ Kₙ₊₁ → la intersección de todos los subconjuntos del encaje es no vacía.

De este teorema de los intervalos anidados se puede obtener como consecuencia todo lo que dependa de la completitud de la recta real; de hecho, es equivalente este teorema al Axioma de existencia del extremo superior en todo subconjunto no vacío y acotado superiormente.

Por ejemplo, [2, 3] ⊃ [2.7, 2.8] ⊃ [2.71, 2.72] ⊃ [2.718, 2.719] ⊃ …de modo que existe un número real único que pertenece a todos los intervalos y es el famoso numero e. La sucesión de su desarrollo decimal, tomado por ejemplo de la sucesión 1/0! + 1/1! + 1/2! +…, determina la existencia de un número real único y podemos demostrar tal existencia mediante este importante teorema, que es fundamental, y no es una simple curiosidad.

En general, cualquier desarrollo decimal infinito determina un número real y se puede probar mediante este teorema de los intervalos anidados (también mediante otros, o mediante el axioma del extremo superior).

Pero el teorema de los intervalos anidados es un medio poderoso de demostrar la existencia de un número real único en condiciones muy generales.

Otro ejemplo, 3.141592653589… etc. es un número que pertenece a todos intervalos anidados:

[3, 4] ⊃ [3.1, 3.2] ⊃ [3.14, 3.15] ⊃ [3.141, 3.142] ⊃ …y es el famoso número π, siempre que elijamos las cifras correctas de su desarrollo decimal.

Lo que viene a significar, de manera muy profunda, el teorema de los intervalos anidados es que:

el espacio métrico ℝ, con la métrica usual, definida por la distancia euclídea, d(x, y) = |x - y|,

es completo (toda sucesión de Cauchy en ℝ converge en ℝ).