¿Por qué podemos suponer que existen vectores ortogonales cuando la definición de la ortogonalidad a través del producto interior ya supone que...

Me parece que la pregunta debería estar redactada así:

¿Por qué podemos suponer que existen vectores ortogonales cuando la definición de la ortogonalidad a través del producto interior ya supone que existe una base ortogonal (canónica), donde ya se supone que funcionan los productos punto y las proyecciones ?

Producto punto, producto interno, producto interior o producto escalar es lo mismo.

Yo mismo tuve que enviar, esta pregunta a varios Foros Matemáticos, y en ninguno daban una respuesta. Solo el usuario entendió la idea de la pregunta, y según el , la pregunta parte de una idea equivocada, porque al hablar de espacios vectoriales estoy asumiendo el enfoque que se trata de espacios vectoriales en R2R2 y R3R3 . Se perfectamente que los casos mencionados, son solo unos de los muchos casos que hay, en lo que respecta a lo que son espacios vectoriales.

Una gráfica ayuda a entender el concepto de la pregunta.

Como nadie, solucionó el problema planteado, después de indagar e informarme mucho sobre el tema, tuve que yo mismo responder a la pregunta planteada, con las críticas constructivas de Eduardo Tirado.

Mi respuesta es esta:

Es evidente que el planteó la pregunta originalmente , se refiere a los vectores de toda la vida, los que nos enseñan desde la escuela es decir los vectores en R2R2 y en R3R3 No se refiere a los 'vectores' como elementos de un espacio vectorial, la cual es una definición mas general. Entonces esta respuesta refleja la inquietud de muchos estudiantes de los cursos de Cálculo Vectorial , que cuando inicia los estudios de Algebra Lineal, se encuentran con un formalismo mas general. Luego, esta respuesta se basa desde la perspectiva del Cálculo Vectorial, pero teniendo en cuenta el orden y el enfoque en que son presentados estos temas en los cursos de Álgebra Lineal.

Después de consultar varios libros, aparentemente hay un caso de circularidad. Revisando textos de Cálculo Vectorial y Algebra Lineal y el enfoque en los textos de Algebra Lineal es el siguiente.

-Se definen las operaciones de suma y producto por un escalar.

-Se definen los sub espacios vectoriales.

-Se define la Combinación Lineal

-Se define la condición ( L.I.) o (L.D.)

-Se define lo que son las bases y dimensión de un espacio vectorial.

Se escoge por comodidad lo que se denomina base canónica de caracter unitario, en vectores, matrices o polinomios.

Ya llegamos a lo que una base canónica y en ningún momento se habla de ortogonalidad u ortonormalidad.

Luego se definen la operación de producto interno, de las muchas formas en la que se puede definir, el producto interno, se escoge aquella que nos facilite los cálculos, por esta razón se escoge el Producto interno canónico.

Una vez definida la operación de Producto interno canónico, se definen las condiciones de ortogonalidad de vectores (vectores en R2R2 , R3R3, y el caso mas general, matrices y polinomios )

Pero en este caso, solo nos interesa R2R2 y R3R3 no el resto de los Espacios vectoriales.

Se están dando cuenta o todavía no ?

Ya llegamos a definir lo que es una base canónica, la cual nos facilita el cálculo, de lo que es el Producto Interno ( canónico ). Se ha definido la base antes de la operación de Producto Interno.

Pero recién definido el Producto interno, podemos definir lo que es la condición de ortogonalidad de los elementos que conforman el espacio vectorial en el caso mas general.

Y con la operación de producto interno regresamos no a definir, sino a terminar de definir o a demostrar la ortogonalidad de los elementos que conforman la base, (una condición que ya se suponía que ya tenían; pero que aún no se había demostrado).

Parece que eso es lo que NO entiende el amigo Eduardo Tirado.

Aquí estoy demostrando que el concepto de base surge mucho antes de definir lo que es el concepto de producto interior. El producto interior, en este caso solo sirve mara demostrar la ortogonalidad de los elementos de la base canónica ( que ya se supone que existen ) y que por definición son elementos unitarios; demostrada su ortogonalidad, al ser elementos unitarios se demuestra su ortonormalidad usando el concepto de producto interno que surge mucho después de haber definido lo que es una base canónica. Luego que se definió el producto interno se regresa para 'completar la definición' o especificar las condiciones que debe cumplir una base canónica para éste caso específico.

No es un caso de circularidad como en el caso de los diccionarios , o la circularidad que ha encontrado el amigo Ricardo Ramirez en los textos básicos de Calculo I.

En esta respuesta, la circularidad es solo de un ciclo o una vuelta, señalada en el diagrama con unas marcas en donde inicia el camino recorrido por las flechas y en donde termina.

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Ver comentarios de Eduardo Tirado en esta otra respuesta:

Aquí un par mas de preguntas que he enviado a ese usuario y hasta ahora no hay respuesta.

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