¿Cómo se relaciona la proyección ortogonal con las componentes de un vector sobre otro vector y que aplicación práctica tiene?

Esto podría tratarse como una ampliación de a la siguiente pregunta:

En general, para un par de vectores a y b se cumple:

cosθ=t|a⃗ ||b⃗ |cosθ=t|a→||b→| ……………..(1a)

De acuerdo con la figura:

b⃗ =ta⃗ +ra⃗ ⊥b→=ta→+ra→⊥

Multiplicando por a⃗ a→

a⃗ .b⃗ =ta⃗ .a⃗ +ra⃗ .a⃗ ⊥a→.b→=ta→.a→+ra→.a→⊥

a⃗ .b⃗ =ta2a→.b→=ta2

t=a⃗ .b⃗ a2t=a→.b→a2 …………………..(*)

El escalar tt representa el número de veces que se debe multiplicar el vector a⃗ a→ para que sea igual a la proyección de b⃗ b→ sobre a⃗ a→ .

Ejemplo simple:

Sea el vector b⃗ =(15,20)b→=(15,20) y el vector a⃗ =(2.4,0.7)a→=(2.4,0.7). Hallar el número de veces que se debe multiplicar el vector a⃗ a→ para que sea igual a la proyección del vector b⃗ b→ sobre este vector.

Solución:

El problema es similar a la figura de esta respuesta. Tenemos un vector b⃗ b→ y un vector a⃗ a→. Y debemos hallar el número de veces que se debe multiplicar el vector a⃗ a→ para que sea igual a la proyección del vector b⃗ b→ sobre éste ultimo.

Usando la fórmula que se acaba de deducir para el cálculo de t, se obtiene:

t=(2.4,0.7).(15,20)6.25t=(2.4,0.7).(15,20)6.25

t = 8

Reemplazando la fórmula (*) en la fórmula (1a) se tiene lo siguiente.

cosθ=(a⃗ .b⃗ ).|a⃗ |a2.|b⃗ |cosθ=(a→.b→).|a→|a2.|b→|

cosθ=(a⃗ .b⃗ )|a⃗ |.|b⃗ |cosθ=(a→.b→)|a→|.|b→| …………………………..(1b)

Fórmula que nos permite hallar el ángulo entre dos vectores cualesquiera.

En el caso que los vectores sean unitarios. Se tiene lo siguiente:

cosθ=u⃗ a.u⃗ bcosθ=u→a.u→b …………………………..(1c)

Proyección ortogonal:

Si a y b son un par de vectores no paralelos y distintos del vector nulo 0⃗ 0→, cualquier vector c⃗ c→ puede expresarse como una combinación lineal de b⃗ b→ y a⃗ a→ .

En general:

En el caso particular que a⃗ ≠0⃗ a→≠0→ y b⃗ =a⃗ ⊥b→=a→⊥. Como los vectores a⃗ a→ y a⃗ ⊥a→⊥ son no paralelos, entonces de acuerdo a la gráfica cualquier vector b⃗ b→ puede expresarse como:

b⃗ =ta⃗ +ra⃗ ⊥b→=ta→+ra→⊥

El cálculo de tt y rr es respectivamente:

t=b⃗ .a⃗ a2t=b→.a→a2 y r=b⃗ .a⃗ ⊥a2r=b→.a→⊥a2

Puesto que los vectores ta⃗ ta→ y ra⃗ ⊥ra→⊥ son ortogonales, el vector ta⃗ ta→ recibe el nombre de Proyección ortogonal del vector b⃗ b→ sobre a⃗ a→ y se denota como: Pra⃗ b⃗ Pra→b→

Luego. Si a⃗ ≠0⃗ a→≠0→ Cualquier vector b⃗ b→ puede expresarse como:

b⃗ =Pra⃗ b⃗ +Pra⃗ ⊥b⃗ b→=Pra→b→+Pra→⊥b→

Luego:

Pra⃗ b⃗ =[b⃗ .a⃗ a2]a⃗ ,∀a⃗ ≠0⃗ Pra→b→=[b→.a→a2]a→,∀a→≠0→

Componentes:

A partir de la definición de Pra⃗ b⃗ Pra→b→ se puede escribir:

Pra⃗ b⃗ =[b⃗ .a⃗ a2]a⃗ =b⃗ .a⃗ |a⃗ |(a⃗ |a⃗ |)Pra→b→=[b→.a→a2]a→=b→.a→|a→|(a→|a→|)

Claramente se ve que a⃗ /|a⃗ |a→/|a→| es un vector unitario.

El coeficiente b⃗ .a⃗ /|a⃗ |b→.a→/|a→| , nos proporciona la medida del vector Pra⃗ b⃗ Pra→b→ por lo que recibe el nombre de componente del vector b⃗ b→ en la dirección de a⃗ a→ y se denota por:

Compa⃗ b⃗ =b⃗ .a⃗ |a⃗ |Compa→b→=b→.a→|a→|

También puede escribirse como:

Cpa⃗ b⃗ =b⃗ .a⃗ |a⃗ |Cpa→b→=b→.a→|a→|

La componente es un número real y se relaciona con la proyección mediante:

Pra⃗ b⃗ =(Cpa⃗ b⃗ )a⃗ |a⃗ |Pra→b→=(Cpa→b→)a→|a→|

Aplicación práctica:

Choques en dos dimensiones con coeficiente de restitución: ⟹⟹