¿La derivada de un vector "es" o "es igual a" la derivada de sus componentes? Dicho de otro modo, ¿la derivada está definida para los vectores?

Cuando se trabaja con funciones reales de variable real es decir de RR en RR

tenemos el caso siguiente: y=f(x)y=f(x)

Nuestro conjunto de partida son los Números Reales y nuestro conjunto de llegada, también son los números reales. Los entes matemáticos a los que se les puede sacar la deivada en un punto o en todo el dominio de la función (función derivada) son las funciones precisamente. Se está haciendo esta aclaración , porque frecuentemente se escucha decir: " la derivada de un número es cero". Cuando lo correcto sería decir: " La derivada de la función constante es cero ".

Del mismo modo que no existe la derivada de un número, no existe la derivada de un vector. Lo que existe es la derivada de una función constante y la derivada de una función vectorial que presenta una evolución de un vector con respecto a un parámetro. Al evaluarla en algún punto en particular, se está evaluando la razón de cambio de una función vectorial con respecto a su parámetro, en donde con frecuencia el parámetro es el tiempo, pero no siempre tiene que ser así.

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Cuando se trabaja en funciones vectoriales de variable real

Una función vectorial es una función definida de RR en R3R3

Es decir, nuestro conjunto de partida son los números Reales y nuestro conjunto de llegada en un espacio vectorial de dimensión 3, que es como se trabaja en la mayoría de problemas relacionados al movimiento. Salvo en el caso de Relatividad Especial en donde nuestro espacio vectorial está descrito por un tensor métrico en el espacio de Minkowski.

Mas información:

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En el caso de usar coordenadas cartesianas:

En algunos textos se usa la notación f⃗ (t)=[f1,f2,f3]f→(t)=[f1,f2,f3] para indicar funciones vectoriales. En esta respuesta se va a usar la notación. En otros textos se usa la notación α(t)α(t) para hacer referencia a una función vectorial de variable real.

La función vectorial consta de tres funciones diferentes una para cada dimensión del espacio vectorial f⃗ (t)=(f1,f2,f3)f→(t)=(f1,f2,f3)

Si trabajamos en un sistema de tres ejes cartesianos, los vectores unitarios son:

i^i^: ( 1, 0, 0 )

j^j^ : ( 0, 1, 0 )

k^k^ : ( 0, 0, 1)

Entonces cada una de las funciones fifi , donde i = 1,2, 3 representa como varía el parámetro 't' en cada una de las direcciones x, y, z

La notación en este caso sería:

f1→fxf1→fx

f2→fyf2→fy

f3→fzf3→fz

Y nuestra función vectorial. f⃗ (t)=(f1,f2,f3)f→(t)=(f1,f2,f3)

pasaría a ser: f⃗ (t)=(fx,fy,fz)f→(t)=(fx,fy,fz)

Es decir:

f⃗ (t)=fx(t)i^+fy(t)j^+fz(t)f→(t)=fx(t)i^+fy(t)j^+fz(t)

O también:

f⃗ (t)=x(t)i^+y(t)j^+z(t)f→(t)=x(t)i^+y(t)j^+z(t)

Entonces para calcular la derivada de una función evaluada en vector, se halla la derivada de cada una de las funciones componentes.

Ejm:

Para el sencillo caso:

f⃗ (t)=[6t,5t,2t2]f→(t)=[6t,5t,2t2]

Es decir:

f⃗ (t)=6ti^+5tj^+2t2k^f→(t)=6ti^+5tj^+2t2k^

La derivada:

f⃗ ′(t)=6i^+5j^+4tk^f→(t)′=6i^+5j^+4tk^

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3 parámetros:

f⃗ (x,y,z)=f1(x,y,z)i^+f2(x,y,z)j^+f3(x,y,z)k^f→(x,y,z)=f1(x,y,z)i^+f2(x,y,z)j^+f3(x,y,z)k^

En este caso se deriva con respecto a una variable y por lo tanto se hace necesario el uso de derivadas parciales.

No solamente existen las coordenadas cartesianas, también existen las coordenadas cilíndricas, esféricas, hiperbólicas y generalizadas.

Coordenadas generalizadas - Wikipedia, la enciclopedia libre

Mas información de ejemplos aplicativos, de como se deriva una función evaluada en vector.

r⃗ (t)=acoswti^+asenwtj^+bwtk^r→(t)=acoswti^+asenwtj^+bwtk^