¿Para que sirven las matrices, diagonalización, derivadas parciales, vectores para el mundo de la economía?

La matematización de la economía se realiza a través del concepto de número real, que permite asignar un valor numérico —cuantificar— cualquier magnitud económica. Una realidad económica puede tratarse matemáticamente a partir del momento en que encontramos un medio de describirla mediante magnitudes numéricas cuyo comportamiento y relaciones mutuas podemos estudiar (precios, salarios, réditos, probabilidades, tasas de inflación, de desempleo, beneficios, costes, etc.). Sin embargo, es muy raro que un problema venga determinado por un único dato numérico. Lo usual es que sea necesario trabajar simultáneamente con muchos datos. Eso lleva a los economistas a trabajar sistemáticamente con “bloques” de números. Y es ahí donde toman presencia las matrices y el álgebra matricial en general.

En general, la forma más habitual de tratar teóricamente varios datos numéricos es a través de un elemento de R. Si las componentes de los datos que se manipulan verifican ciertas relaciones sencillas, los economistas disponen de una potente teoría matemática para tratar con ellos. Esta teoría parte del concepto de espacio vectorial.

En economía, no sólo es importante determinar magnitudes que reflejen una situación dada, sino también estudiar cómo varían estas magnitudes y cómo influyen sobre unas las variaciones de otras. Así, por ejemplo, la inflación es una medida de la variación de los precios a lo largo del tiempo; si dos países tienen la misma tasa de paro, pero la de uno está creciendo y la de otro decreciendo, entonces sus economías son diferentes; un empresario puede estar interesado en estimar la variación de sus beneficios que ocasionaría un incremento en la producción, o un incremento en el gasto publicitario, etc.

Por ejemplo, la función de incrementos parciales de una función f respecto a x es otra función cuyas variables son las de f más la nueva variable ∆xi, y nos permite calcular el incremento que experimenta f cuando la variable xi se incrementa en la cantidad ∆xi.

Las funciones de incrementos suelen ser complicadas. Sin embargo, si estamos dispuestos a renunciar a calcular el valor exacto de los incrementos de una función y sustituirlo por una aproximación razonable, podemos obtener una fórmula relativamente sencilla con las derivadas parciales.

En economía es frecuente referirse a la derivada de una magnitud añadiéndole a esta el calificativo “marginal”. Por ejemplo, si C(x, y) es una función de costes, donde x e y son las cantidades producidas de dos artículos, la derivada ∂C/∂x es el coste marginal respecto de x, es decir, el (incremento del) coste que ocasionaría aumentar en una unidad la producción del primer artículo. Igualmente, si B(t) son beneficios de una empresa en un tiempo t, entonces el beneficio marginal es dB/dt , que se interpreta como el beneficio que se obtiene al pasar una unidad (marginal) de tiempo. Si U(x, y) es la utilidad que obtiene un consumidor al adquirir cantidades x e y de dos productos A y B, entonces la utilidad marginal respecto de y es la derivada ∂U/∂y , es decir, (el incremento de) la utilidad que obtendría el consumidor al gastar una unidad monetaria más en el producto B, etc…

La matemática está muy presente en todo lo que se relaciona con la economía.