¿Existe alguna relación entre los números complejos y las matrices 2x2?

Para hacer más concreta la idea planteada en la respuesta de , que los números complejos son “esencialmente lo mismo” que ciertas matrices 2x2, presento cómo exactamente es que estos dos objetos distintos exhiben la misma “estructura”.

Los números complejos CC se pueden definir como pares de números reales, (a,b)(a,b), con dos reglas para combinar complejos distintos:

• (a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)
• (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)

Por razones obvias, a estas operaciones se les llama suma y multiplicación de números complejos. La asociación con la presentación usual de un número complejo como a+iba+ib es inmediata: la primera coordenada del par (a,b)(a,b) representa la parte real y la segunda coordenada la parte imaginaria. (Ejercicio: Representa ii como un par y prueba que, en efecto, i2=−1i2=−1 según la regla anterior para multiplicar los pares.)

Ahora apliquemos las reglas usuales de suma y multiplicación de matrices a las matrices

(a−bba)(c−ddc)(ab−ba)(cd−dc)

La suma es:

(a−bba)+(c−ddc)=(a+c−b−db+da+c)(ab−ba)+(cd−dc)=(a+cb+d−b−da+c)

y la multiplicación:

(a−bba)⋅(c−ddc)=(ac−bd−ad−bcad+bcac−bd)(ab−ba)⋅(cd−dc)=(ac−bdad+bc−ad−bcac−bd)

¿Ves lo que pasó? En ambos casos, el de los números complejos y el de las matrices, apareció lo mismo, el mismo comportamiento y las mismas expresiones. Para ser más precisos, bajo la identificación formal

(a,b)=a+ib→(a−bba)(a,b)=a+ib→(ab−ba)

y

(c,d)=c+id→(c−ddc)(c,d)=c+id→(cd−dc)

las operaciones de suma y multiplición de números complejos tienen el mismo efecto que las operaciones correspondientes para las matrices. Tienen la misma “estructura”.

Formalmente, decimos que las estructuras (C,+,⋅)(C,+,⋅) y (M,+,⋅)(M,+,⋅) son isomorfas, donde MM es el conjunto de las matrices anteriores.