¿Por qué se pueden multiplicar las matrices pero no dividirlas?

Se pueden “dividir” matrices, pero no siempre, y por el mismo motivo de que son matrices usar la notación de fracciones no es muy bonito que digamos, y además se pueden perder algunas propiedades, por la no conmutatividad.

Por ejemplo, si tenemos dos matrices n×n,A,Bn×n,A,B con BB invertible, en principio podemos definir ABAB de dos maneras distintas. Como AB−1AB−1 o como B−1AB−1A. Como Mn×n(k)Mn×n(k) no es un anillo conmutativo, las dos definiciones son distintas. Pero tampoco mantienen las mismas propiedades. Por ejemplo, uno esperaría que (Con AB=AB−1AB=AB−1) si AB=CDAB=CD entonces AD=CBAD=CB, pero lo único que se tiene es que , AB−1D=CAB−1D=C. Eso no quiere decir que no se puedan dividir matrices, simplemente que no es conveniente usar la misma notación porque no se van a cumplir las mismas propiedades.

Por supuesto, hay al menos dos maneras de realizar divisiones entre matrices manteniendo al menos las propiedades mencionadas anteriormente. La primera es dividir solo entre matrices que estén en el centro, es decir, que conmuten con cualquier otra matriz (Las cuales son las matrices diagonales de diagonal constante). Es decir, realizar divisiones ABAB donde B=diag(b,b,…,b),b≠0B=diag(b,b,…,b),b≠0. Pero esto es equivalente a dividir entre escalares. Otra manera es considerar un subanillo que sea conmutativo y hacer las divisiones allí (Como el subanillo de todas las matrices diagonales).

En resumen, puedes “dividir” matrices, solo que en general no vale la pena usar la notación de división.