¿Por qué en la multiplicación de matrices, las filas se tienen que multiplicar por columnas y ser sumadas de esa forma? ¿Qué explica que sea así?

La multiplicación de matrices partió, en los primeros desarrollos del álgebra lineal, de un hecho, que era la composición de transformaciones lineales, empleando los términos de una u otra manera, pero en esencia, aparece ese producto de filas por columnas de manera natural, nadie se lo sacó de la manga, por decirlo así.

Una de las maneras de ilustrarlo, y que sin duda corresponde a las primeras veces en que apareció, ocurrió como en tantas otras ocasiones, en sentido inverso a como después se explica y se sistematiza, dando la impresión (falsa) de que quien define los conceptos hace magia, ve en el más allá, y como premio resulta que eso después tiene gran relevancia y numerosas aplicaciones; no es así la realidad histórica: muchas veces -la mayoría- aparece el concepto por sí solo y ante su repetición en ése o en otros ámbitos o problemas matemáticos, quienes investigan se ven obligados a darle un nombre; que es tanto como definir un nuevo concepto.

Luego, cuando se reordena el material, se presenta el pez "cocinado" y adornado con guarnición, pero el verdadero pez surgió en el agua, y se encontró muchas veces por casualidad, otras por alguna intuición y poquísimas o casi nunca como algo seguro por anticipado y bajo la creencia previa de que será últil en alguno o en varios contextos.

Los buenos matemáticos son muy inteligentes, pero no son adivinos.

El ejemplo en que, acaso por primera vez, se le presenta al gran matemático inglés Arthur Cayley (1821–1895), en esas primeras tentativas, ese producto de matrices que todos empleamos ahora, designado en algunos textos la multiplicación de Cayley (véase, por ejemplo, Matrix Algebra, de James Gentle, editorial Springer 2007) es éste:

Se considera una transformación lineal en varias variables, un concepto que apareció en las primeras exposiciones sistemáticas pre-modernas de la geometría analítica (allá por el siglo XIX o incluso antes), o en la teoría de sistemas de ecuaciones lineales, por ejemplo. En algunos textos de finales del XIX y principios del XX, también se las llama sustituciones lineales.

[Procuro nombrar esos conceptos suponiendo que estamos en la época "pre-matricial", para que se sitúe el lector en el origen histórico del producto de matrices, por el que aquí se pregunta.

Aunque sorprenda saberlo, en cierto sentido técnico, se consideró antes el producto de matrices que las mismas matrices, en tanto que entes en cierto sentido "numéricos", es decir, con los que se puede operar algebraicamente; y no solo como inertes cuadros de filas y columnas. También el concepto de determinante es anterior al empleo y definición explícita de las matrices, contra lo que se puede suponer a la vista del orden de exposición en los textos relativamente modernos].

Sea, pues,

x₁ = a₁₁ y₁ + a₁₂ y₂ + …+ a₁ₙ yₙ

x₂ = a₂₁ y₁ + a₂₂ y₂ + …+ a₂ₙ yₙ

…………………………………………….

xₘ = aₘ₁ y₁ + aₘ₂ y₂ + …+ aₘₙ yₙ ; (*)

(donde los coeficientes aᵢⱼ pueden ser reales o complejos, por ejemplo, o pertenecientes a cualquier anillo conmutativo o bien cualquier cuerpo).

Esta transformación lineal puede representarse más sintéticamente mediante un cuadro con los coeficientes aᵢⱼ, o sea, lo que luego se llamó matriz:

A =

|a₁₁ a₁₂ … a₁ₙ|

|a₂₁ a₂₂ … a₂ₙ|

|…………………|

|aₘ₁ aₘ₂ … aₘₙ|

Si a su vez queremos sustituir linealmente las variables y₁, y₂, …, yₙ, o en terminología más moderna, transformar linealmente esas variables, como combinaciones lineales de otras variables z₁, z₂, … , zₖ, mediante los coeficientes bᵢⱼ (igualmente reales o complejos, por ejemplo, o pertenecientes a cualquier anillo conmutativo o bien cualquier cuerpo, pero en todo caso pertenecientes a la misma estructura base a la que pertenecen las aᵢⱼ), será:

y₁ = b₁₁ z₁ + b₁₂ z₂ + …+ b₁ₖ zₖ

y₂ = b₂₁ z₁ + b₂₂ z₂ + …+ b₂ₖ zₖ

…………………………………………….

yₙ = bₙ₁ z₁ + bₙ₂ z₂ + …+ bₙₖ zₖ ; (**)

esta transformación lineal puede, a su vez, representarse análogamente, más brevemente mediante un cuadro (matriz) con los coeficientes bᵢⱼ, o sea,

B =

|b₁₁ b₁₂ … b₁ₖ|

|b₂₁ b₂₂ … b₂ₖ|

|…………………|

|bₙ₁ bₙ₂ … bₙₖ|

Por sustitución directa en las fórmulas (*) para x₁, x₂, … xₘ, de las expresiones (**) de las variables y₁, y₂, …, yₙ en función de las z₁, z₂, … zₖ obtenemos:

x₁ = a₁₁ (b₁₁ z₁ + b₁₂ z₂ + …+ b₁ₖ zₖ) + a₁₂ (b₂₁ z₁ + b₂₂ z₂ + …+ b₂ₖ zₖ) + …+ a₁ₙ ( bₙ₁ z₁ + bₙ₂ z₂ + …+ bₙₖ zₖ) =

= (a₁₁ b₁₁ + a₁₂ b₂₁ + … a₁ₙ bₙ₁) z₁ + (a₁₁ b₁₂ + a₁₂ b₂₂ + … a₁ₙ bₙ₂) z₂ + … + (a₁₁ b₁ₖ + a₁₂ b₂ₖ + … +

+ a₁ₙ bₙₖ) zₖ

Aquí tenemos en cada coeficiente de z₁, z₂, … zₖ, por orden:

Para coeficiente de z₁ en x₁:

fila 1 de A "multiplicada" por columna 1 de B (en el sentido de "multiplicación" análogo al actualmente llamado producto escalar (euclídeo) de vectores en ℝⁿ, o sea, suma de los productos binarios de los términos homólogos: primero x primero + segundo x segundo +.. ..etc.).

Para coeficiente de z₂ en x₁ :

fila 1 de A "multiplicada" por columna 2 de B …etc.

…………………………………………………………………… etc.

Para coeficiente de zₖ en x₁ :

fila 1 de A "multiplicada" por columna k-ésima de B.

Para los demás, correspondientes a x₂, …,xₘ no hace falta escribirlo, pero los lectores muy desconfiados pueden comprobarlo con su bolígrafo y papel, de modo que se obtiene

fila 2 de A "multiplicada" por columna 1 de B ;

fila 2 de A "multiplicada" por columna 2 de B ;

…………………………………………………………………….

fila 2 de A "multiplicada" por columna k-ésima de B ; etc.

Y lo mismo con las demás filas de A y columnas de B.

Es decir, si aplicamos la "matriz" A, que representa una transformación lineal y luego la matriz B, que representa otra transformación lineal, resulta formalmente otra transformación lineal asociada a una nueva matriz, representada por AB, o sea, la composición de esas dos transformaciones, y resultaba tan tentador llamar a la nueva matriz compuesta, la matriz producto de A y B, que así hicieron Cayley, Hamilton y Grassman, y por supuesto todos los que vinieron después.

De ahí viene el "teorema" que dice que la matriz compuesta de otras dos relativas a transformaciones lineales, es la matriz producto, entendiendo y definiendo este producto como la matriz hallada multiplicando filas por columnas, una expresión coloquial muy poco formal y no muy correcta, pero sí muy intuitiva y que todos entendemos claramente, sin tener que dar un rodeo explicativo demasiado largo.

Una vez desarrollada a fondo el álgebra lineal, se encontró el teorema que no es más que un enunciado más preciso, pero análogo en el fondo, que establece:

Si f: E → V , g: V → W son aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita representados matricialmente por las matrices B y A, respectivamente, ligadas a las bases finitas T, T' y T'', siendo h = gºf, se verifica que la matriz C de la aplicación lineal compuesta, es decir, la matriz de h, es el producto de las matrices A y B, esto es, C = AB; o escrito más claramente,

Matriz (gºf) = Matriz (g) * Matriz (f).

(el producto AB es el que se obtiene multiplicando filas por columnas).

Las preguntas como la que aquí hemos analizado, es fundamental formularlas y responderlas si se quiere avanzar con linterna, porque avanzar a ciegas en matemáticas tiene muy pocas posibilidades de éxito, y es lo que siempre se llama, popularmente, "falta de base"; algo que no es nunca enteramente responsabilidad exclusiva de los alumnos, sino también de los textos y profesores que omiten u oscurecen las ideas básicas subyacentes en cada tema expuesto, bien sea por la prisa en terminar el temario, o por falta de la adecuada reflexión didáctica, o por falta del suficiente interés de los alumnos cuando se requiere profundizar, o bien por la conjunción de todos esos factores a la vez.