¿Cómo se sabe si dos vectores son paralelos o perpendiculares en un plano? ¿Cómo se define el paralelismo y la ortogonalidad de los elementos que...

Esta respuesta puede considerarse como una continuación a la siguiente pregunta:

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Hay cosas que a primera vista uno respondería. Solo basta con mirar la grafica y piensan que esa es la respuesta , pero no siempre es así.

Aquí hay que fundamentar matemáticamente lo que se está preguntando y se va hacer desde la perspectiva del Cálculo Vectorial. Ya que también puede responderse desde la perspectiva del Álgebra Lineal y las gráficas se usan solamente como complemento a la respuesta que se está dando.

Paralelismo entre vectores en un sistema de coordenadas x-y

Dado un vector a⃗ a→ , su múltiplota⃗ ta→ es un vector que indica la misma dirección que el vector anterior a⃗ a→. Indica la misma dirección si t > 0. Si t < 0 indicará la misma dirección pero apuntara en sentido opuesto que el primer vector. En otras palabras.

Dos vectores a⃗ a→ y b⃗ b→ son paralelos (a⃗ //b⃗ a→//b→ ). Si uno de ellos es un múltiplo real del otro. Es decir:

a⃗ //b⃗ ⟺a⃗ =tb⃗ a→//b→⟺a→=tb→

El vector 0⃗ 0→ se considera paralelo a cualquier otro vector a⃗ a→, pues se cumple: 0⃗ =0.a⃗ 0→=0.a→

Ortogonalidad en un sistema de coordenadas x - y

Para dos vectores a⃗ a→ y b⃗ b→ que son los lados de un paralelogramo tenemos que en general se cumple:

|a⃗ +b⃗ |≠|a⃗ −b⃗ ||a→+b→|≠|a→−b→|

Solamente en el caso que el paralelogramo sea un rectángulo. Se cumple.

|a⃗ +b⃗ |=|a⃗ −b⃗ ||a→+b→|=|a→−b→|

Dos vectores a⃗ a→ y b⃗ b→ son ortogonales entre sí, si se cumple:

|a⃗ +b⃗ |=|a⃗ −b⃗ ||a→+b→|=|a→−b→| …………..(1a)

Luego: Si a⃗ a→ es ortogonal a b⃗ b→ se denota como: a⃗ ⊥b⃗ a→⊥b→

La condición (1a) es equivalente a:

|a⃗ +b⃗ |2−|a⃗ −b⃗ |2=0|a→+b→|2−|a→−b→|2=0 ……….(1b)

Desarrollando:

(a1+b1,a2+b2)2−(a1−b1,a2−b2)2=0(a1+b1,a2+b2)2−(a1−b1,a2−b2)2=0

(a1+b1)2+(a2+b2)2−[(a1−b1)2+(a2−b2)2]=0(a1+b1)2+(a2+b2)2−[(a1−b1)2+(a2−b2)2]=0

Por Legendre:

4a1b1+4a2b2=04a1b1+4a2b2=0

Es decir:

a1b1+a2b2=0a1b1+a2b2=0

La cantidad: a1b1+a2b2a1b1+a2b2 recibe el nombre por definición de Producto escalar

Luego: El Producto escalar de dos vectores a⃗ a→ y b⃗ b→ en el plano se define como:

a⃗ .b⃗ =a1b1+a2b2a→.b→=a1b1+a2b2

Entonces que si multiplicamos escalarmente dos vectores cualquiera. El producto escalar será máximo cuando los vectores sean paralelos y apunten en el mismo sentido y será mínimo cuando sus direcciones apunten en sentidos contrarios.

Si multiplicamos escalarmente dos vectores iguales se obtiene el cuadrado de la norma del vector. Es decir:

a⃗ .a⃗ =|a⃗ |2=a2a→.a→=|a→|2=a2

Entonces ahora si, podemos definir la ortogonalidad en base al producto escalar o producto interno.

Si el producto escalar de dos vectores es cero, y ninguno de ellos es el vector nulo, entonces dichos vectores son ortogonales. La afirmación anterior también se cumple en sentido inverso. Dicho de otra forma:

Dos vectores a⃗ a→ y b⃗ b→ diferentes del vector nulo, son ortogonales, si y solo si a⃗ .b⃗ =0a→.b→=0

a⃗ ⊥ b⇔a⃗ .b⃗ =0a→⊥ b⇔a→.b→=0

En el caso de los vectores unitarios i^i^ y j^j^ , dichos vectores además de ser ortogonales son también ortonormales, por lo tanto forman una base en el espacio vectorial bidimensional R2R2. Es decir se cumple que:

i^.j^=0i^.j^=0

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Ver siguiente pregunta: ⟹⟹

a⃗ .b⃗ =∑i=13aibia→.b→=∑i=13aibiaiaibibi