¿Por qué la definición del determinante de una matriz está asociada con permutaciones?

Depende de qué definición elijas.

Con la definición clásica, que es operativa, efectivamente, las permutaciones desempeñan un papel fundamental desde el principio.

Sin embargo, si eliges una definición axiomática (como ya hacía Kronecker en el siglo XIX, allá por la década de 1880, más o menos, según cuenta Godement) no aparecen permutaciones por ninguna parte de la definición. Pero si empleas esa definición para desarrollar efectivamente el determinante, vuelven a salir las permutaciones que estaban "escondidas".

La "moderna" definición axiomática la cuenta estupendamente el gran algebrista Artin, en su monografía, Galois Theory. Y con mayor concisión y claridad que todos los textos que puedas consultar.

Define Artin:

Si K es un cuerpo -conmutativo- de escalares, una función escalar de n vectores columna variables en Kⁿ es un determinante si satisface los siguientes tres axiomas:

1) Considerada como una función de cualquier columna Aₖ es lineal y homogénea, es decir:

Dₖ (Aₖ + A'ₖ) = Dₖ (Aₖ) + Dₖ (A'ₖ) (propiedad lineal)

Para todo escalar c del cuerpo de escalares,

Dₖ (cAₖ) = c Dₖ (Aₖ) (propiedad homogénea).

2) Si dos columnas adyacentes son iguales, Aₖ = Aₖ₊₁, entonces el valor del determinante es CERO → D(A₁, A₂ , …Aₙ) = 0 .

3) Si se representan los vectores columna unidad por:

U₁ , U₂ ,…, Uₙ, siendo estos vectores columna (escritos en horizontal por sencillez tipográfica):

U₁ = (1↓0↓0…↓0)

U₂ = (0↓1↓0…↓0)

…………………………..

Uₙ = (0↓0↓0…↓1),

se cumple que D(U₁, U₂ , …Uₙ) = 1.

Se plantean entonces tres preguntas fundamentales:

a) ¿Existe alguna función determinante?

b) En caso de que exista alguna función determinante ¿es única?

c) Si la respuesta a estas dos preguntas es afirmativa,

¿Cuál es el valor concreto del determinante en función de las componentes de los vectores columna?

Artin responde afirmativamente a las dos primeras preguntas y exclusivamente mediante los axiomas de la función determinante, encuentra la fórmula explícita para el determinante de una matriz en función de sus elementos, y ahí ya aparecen las permutaciones, en coincidencia con el método clásico de definición.

Si se desarrolla (en álgebra lineal) el concepto de aplicación multilineal alternada, se llega a toda una serie de posibilidades candidatas a función "determinante", que se reducen a una sola: el determinante, al fijar que los vectores unidad, en su orden usual, tienen "determinante" +1.

Por el contrario, si defines el determinante por el método tradicional (el primero que se exploró) como el denominador común de cada incógnita en un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, con el término principal positivo (+a₁₁ a₂₂ …aₙₙ), entonces aparecen directamente todas las permutaciones posibles de 1,2,…n.

Por inducción viendo los casos n = 2, n = 3, se llega a la definición general, que "generaliza" los casos n = 2 y n = 3 :

El determinante de una matriz cuadrada es la suma de todos los productos posibles obtenidos tomando uno de cada fila y uno de cada columna, y asignando a cada término el signo más o el signo menos, según que las permutaciones de los subíndices de las filas y los de las columnas en un mismo término sean de la misma o de distinta clase. (Hay dos clases de permutaciones, clase par y clase impar, según si tienen un número par o impar de inversiones).

Después de muchos intentos, se vio que esta definición de determinante da mucho juego, tanto como para resolver un sistema lineal determinado de n ecuaciones con n incógnitas mediante determinantes, que constituye la llamada Regla de Cramer.

Las permutaciones no se incluyen en la definición por capricho: aparecen por sí mismas al resolver un sistema lineal nxn determinado, con coeficientes literales.