¿Es cierto que si tenemos una matriz invertible A, entonces sus filas son linealmente independientes?

Sí. Se puede escribir fácilmente una demostración sin hacer uso de nada más que la información dada. Sea A=(A1,…,An)TA=(A1,…,An)T dicha matriz, donde Ai=(ai1,…,ain)Ai=(ai1,…,ain) son sus filas.

Sea e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,…,0),en=(0,…,0,1)e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,…,0),en=(0,…,0,1) la base canónica de knkn(donde kk es el campo en el que estés trabajando). Entonces para cada ii, eiA=AieiA=Ai (en efecto, ya que se calcula multiplicando eiei por cada columna de AA, lo que resulta en su valor ii-ésimo).

Sabemos además que 0A=00A=0.

Combinando esas dos cosas, consideremos, para verificar independencia lineal, la siguiente ecuación en las filas de AA, dígase,

c1A1+⋯+cnAn=0.c1A1+⋯+cnAn=0.

Que esta ecuación se cumpla es lo mismo que decir

c1e1A+⋯+cnenA=0c1e1A+⋯+cnenA=0

o vía ley distributiva

(c1e1+⋯+cnen)A=0.(c1e1+⋯+cnen)A=0.

Como AA es invertible, eso quiere decir que

(c1e1+⋯+cnen)AA−1=c1e1+⋯+cnen=0A−1=0(c1e1+⋯+cnen)AA−1=c1e1+⋯+cnen=0A−1=0

y como los eiei forman una base, eso quiere decir que los cici son todos cero. Por lo tanto, los AiAi son todos linealmente independientes, que es lo que se quería demostrar.

Por supuesto, lo mismo lo puedes demostrar vía determinantes pero no es necesario, y esta demostración es tan sencilla en sus ideas que vale la pena hacerla. De hecho en el primer libro de álgebra lineal que usé, el de Grossman, hay un "teorema de resumen" que muestra otras 10 propiedades que son equivalentes a estas dos, y es un buen ejercicio demostrar cada implicación sin usar las demás.