¿Por qué es tan difícil para los matemáticos describir matemáticamente la teoría cuántica de campos? ¿Es posible que tengamos que desarrollar un...

A2A*. Esta es una pregunta difícil, creo que puedo apuntar algunos motivos (no sé si todos) por los cuales sucede que NO existe una base matemáticamente rigurosa para la Teoría Cuántica de Campos (TCC). Por culpa d esa falta de un esquema matemático riguroso se hace necesario recurrir a “trucos auxiliares” para dar sentido a los cálculos hechos mediante esquemas aproximados. Vamos con los motivos:

1. Puntualidad del espacio-tiempo y las partículas. En la teoría cuántica de campos algunos problemas se tratan como si pudiésemos interpretar los campos como partículas puntuales (de dimensión cero) en un espacio-tiempo infinitamente divisible hasta el tamaño de un punto geométrico (es discutible que físicamente la partículas sean puntos y el espacio-tiempo esté hecho de puntos geométricos). Eso en el procedimiento habitual produce algunas divergencias ultravioletas, es decir, números infinitos sencillamente porque en física la escala temporal es inversa con la de la energía [también existen divergencias infrarrojas, pero tienen otro origen]. Considerar puntos geométricos perfectos equivale a introducir partículas virtuales con energías infinitas y cantidad de movimiento igualmente infinitas (esa es la razón por las cuales algunas integrales usadas para calcular cosas divergen a infinito). El truco es integrar hasta una escala máxima (cut off), dejar el resultado en función del cut off y luego usar el grupo de renormalización para establecer bien los límites a los que los cálculos tienden.
2. Enfoque perturbativo y medidas inexistentes matemáticamente. En principio, la TCC puede fundamentarse a partir de la formulación de la integral de caminos, aunque no podemos resolver los problemas integrando una ecuación diferencial única como en mecánica newtoniana, relativista o mecánica cuántica ordinaria. El problema es que para conocer las funciones de correlación que son uno de los ingredientes básicos debemos incorporar términos para la posible creación de partículas (cosa que no sucede en las versiones newtoniana, einsteniena o schrödingeriana de la mecánica). Pero la integral de caminos incorpora una medida que no está definida matemáticamente [ver ], razón por la que no podemos usar nada para calcular directamente con ella. A los físicos se les ocurrió usar un enfoque perturbativo que aproximara dicha integral a base de diagramas de Feynman, pero hay un problema: ese enfoque da lugar a un desarrollo en serie, con términos individualmente divergentes (infinitos) y aún después de ser domados o renormalizados se obtiene una serie formal asintótica que puede ser formalmente divergente. Esto en mucho casos como en varios enfoques de gravedad cuántica es sencillamente desastroso.

Seguramente se pueden encontrar otros problemas, como el que nadie haya logrado construir una sola teoría 4D que satisfaga alguna de las tres versiones de teoría cuántica de campos axiomática (una teoría así sería matemáticamente rigurosa y, sin problemas, pero no se conocen ejemplos de teoría formuladas así, con lo cual nos quedan las chapucerías que comenté en los puntos 1 y 2, que proporcionan números que mal que bien van encajando con los experimentos).

Volviendo sobre la segunda pregunta: SÍ, necesitaríamos una forma de teoría de la medida que nos permitiera trabajar con integrales de caminos sin enfoques perturbativos, también necesitaríamos una descripción del espacio-tiempo diferente del concepto de variedad diferenciable infinitamente suave formada por puntos geométricos.