-álgebra infinita sobre los naturales que reproduzca la idea de "sacar un número natural al azar"?

Según yo no se puede. Y es por la siguiente razón.

Supongamos que tengo una medida de probabilidad PP en el conjunto de los números naturales. Si quiero que esa medida reproduzca la idea de “sacar un número natural al azar”, entonces para todo nn tiene que pasar

P({k|k≤n})≤P({k|k>n}).P({k|k≤n})≤P({k|k>n}).

Esto es así porque hay una infinidad de números mayores que nn, mientras que los menores o iguales a nn son apenas una cantidad finita. De ninguna manera podría justificarse que fuera más fácil pegarle a un número del conjunto finito que a uno del conjunto infinito. Ahora bien, la aditividad de PP implica que

2P({k|k≤n})≤P({k|k>n})+P({k|k≤n})=1,2P({k|k≤n})≤P({k|k>n})+P({k|k≤n})=1,

y por tanto

P({k|k≤n})≤1/2.P({k|k≤n})≤1/2.

Por otro lado, una consecuencia de la σσ-aditividad es que la probabilidad de una sucesión anidada de conjuntos converge a la probabilidad de la unión: si An⊆An+1An⊆An+1, entonces

P(⋃nAn)=limP(An).P(⋃nAn)=limP(An).

Poniendo An={k∣k≤n}An={k∣k≤n}, se tiene que ⋃nAn=N⋃nAn=N y

1=P(N)=limP(An)≤1/2,1=P(N)=limP(An)≤1/2,

lo cual es absurdo.

De ahí que las distribuciones razonables en NN, como la geométrica, la Poisson o la binomial negativa, estén sesgadas hacia los números pequeños: es mucho más fácil pegarle a números pequeños que a grandes. Pero según yo eso va en contra de la idea de “sacar un número natural al azar”. No sé qué me dices tú.

Edito para agregar que nada impide a los matemáticos hablar de la densidad de un conjunto de números naturales (más exactamente, de su densidad asintótica), que es de lo que tratan resultados como el teorema de los números primos [Wikipedia]. Sólo que no hay ninguna expectativa de que esa densidad se porte como una medida de probabilidad.