¿Si se lanzan 2 dados, cuál es la probabilidad de sacar un número impar?

La misma que sacar un par, y, por tanto, 0.5

Eso suponiendo que no están trucados ambos dados… si estuviese trucado solamente uno de ellos también sería 0.5

Supongamos que ambos están trucados.
Llamamos a los dados A y B
Las probabilidades de sacar impar cada uno serían Pa y Pb.

La suma sería impar cuando uno salga par y otro impar.
Esto puede ocurrir cuando “A impar y B par” o cuando “A par y B impar”.

P(“Suma impar”) = P( “A impar y B par” Union “A par y B impar”).
Estos casos son incompatibles, es decir, si se da uno no se da el otro.
Y cuando son incompatibles, la intersección es cero y es una simple suma:

P(“Suma impar”) =
= P( “A impar y B par” Union “A par y B impar”) =
= P( “A impar y B par”) + P(“A par y B impar”).

Como los dados A y B son independientes, la condición “y” se transforma en una multiplicación.

P(“Suma impar”) = P( “A impar”) * P(“B par”) + P(“A par”) * P(“B impar”).

P(Suma impar) = Pa*(1-Pb) + (1-Pa)*Pb = Pa + Pb - 2PaPb

En el caso de que cualquiera de ellos no esté trucado:

Pa = 0.5

Pa + Pb - 2PaPb = 0.5 + Pb - 2*0.5*Pb = 0.5

Pb = 0.5

Pa + Pb - 2PaPb = Pa + 0.5 - 2*0.5*Pa = 0.5

Y ahora un ejemplo cuando ambos están trucados.
Pa = 0.3
Pb = 0.4

Pa + Pb - 2PaPb = 0.3 + 0.4 - 2*0.3*0.4 = 0.7 - 2*0.12 = 0.7 - 0.24 = 0.46

(se comprueba que en este caso no es 0.5)

Supongamos que ambos están trucados, pero con la misma probabilidad.

Pa = Pb

Pa + Pb - 2PaPb = Pa + Pa - 2*Pa*Pa = 2Pa - 2Pa^2 = 2 * Pa * (1 - Pa)

Y eso solamente puede ser 0.5 cuando Pa = 0.5

2Pa - 2Pa^2 = 0.5 → 4Pa^2 - 4Pa + 1 = 0
Solución doble en Pa = 0.5
(Pa - 0.5)^2 = Pa^2 - Pa + 0.25

Cuando Pa no fuese 0.5 la probabilidad de impar sería siempre menor que 0.5 y menor que la probabilidad de par si ambos dados tienen la misma.

¿Y si ambas suman 1?

Pa = 1 - Pb

Pa + Pb - 2PaPb = (1 - Pb) + Pb - 2*(1-Pb)*Pb = 1 - 2Pb +2Pb^2

En este caso, la probabilidad de impar en ambos dados sería siempre mayor que 0.5 si Pa no es 0.5.