¿Si se lanzan nueve monedas, ¿cuál es la probabilidad de que el número de "caras" sea igual?

¿Igual a qué?
¿Al número de cruces (no caras)?

Pues es complicado porque la suma de dos números iguales no puede dar 9, porque 9 es impar. ¡Tendría que caer una de canto!! Lo cual es muy improbable, obviamente, aunque no del todo imposible.
La probabilidad de que caiga de canto depende del grosor de la moneda, pero para monedas normales y en condiciones ideales (sin viento, etc) se estima que sería 1/6000 para una moneda.
¿Qué probabilidad hay de que una moneda caiga de canto?

La probabilidad de igual número de caras y cruces sería la de que 1 salga de canto… o 3 de canto… Despreciando la posibilidad de dos o más salgan de canto, sería calculando que salga 1 de canto como el que salgan 1 o más de canto, que es lo mismo que no sean todas ‘cara o cruz’.
Y esa es:
1 - (5999/6000)^9 = 0.001499
Aproximadamente 9/6000 = 3/2000 = 0.0015
Es decir, un 0.15%

Ah, bueno, y se me olvidó que aparte de salir una de canto, en el resto (8 monedas) deben salir 4 caras y 4 cruces. Esta sería:
p(“4X4C”) = PR(8, [4, 4]) / V(8, 2)

PR(8, [4, 4]) = 8*7*6*5/(4*3*2) = 2*7*5 = 70
V(8, 2) = 2^8

p(“4X4C”) = 70/256 = 35/128

La probabilidad completa de igual número de caras que cruces sería:

p = 3/2000 * 35/128 = 105/256000 = 0.000410156

Más o menos, un 0.04% … es decir, 4 de cada 10 000 veces que lances las 9 monedas.

Si la pregunta se refiere a que el número de caras sea igual al número de monedas, es decir igual a 9, es decir, que todas salgan cara… pues (1/2)^9 = 1/512
Que sería, más o menos el doble de 1/1000, es decir, unos 0.002, que es un 0.2%

Curioso, porque la probabilidad de que sean todas caras es similar a la de que una de las 9 caiga de canto… y es como 5 veces la de que salgan igual número de caras que de cruces. Cuando el número de monedas es par la probabilidad de que todas sean caras suele ser mucho menor que la de el número de caras sea igual al de cruces, pero en este caso no solo es mayor sino 5 veces mayor.

Si la pregunta se refiere a que el número de caras sea igual a n… pues podemos calcular el número de permutaciones con repetición de 9 elementos donde uno se repite n veces y el otro (9-n) veces, o bien, si llamamos a las monedas con 9 nombres serían un conjunto de 9 elementos diferentes de los que podemos tomar n que serían las caras, lo cual sería combinaciones de 9 elementos tomados de n en n.

PR9n,(9−n)=9!(9−n)!n!=(9n)PRn,(9−n)9=9!(9−n)!n!=(9n)

P(NumeroDeCaras = n) = 9! / [ (9-n)! * n! * 512 ]

Para n = 9 y n= 0: 1/512

Para n = 8 y n = 1 : 9/512

Para n = 7 y n = 2 : 9/128

Para n = 6 y n = 3 : 3*4*7 / 512 = 21 / 128

Para n = 5 y n = 4 : 9*8*7*6 / (4*3*2 * 512) = 9*2*7/512 = 63/256