¿Deberían enseñarse los conceptos elementales de la Teoría de Categorías en la educación pre-Universitaria? ¿Se beneficiaría en algo la población...

Justo hace unos días estaba en una conferencia sobre esta problemática, y aunque no llegamos a nada, antes de responder la primer pregunta déjame responder la segunda.

La población en general se beneficia de todo, en especial de las matemáticas. Muchos descubrimientos de las matemáticas han sido usados años después, e incluso siglos después, para causar una revolución en la tecnología de la época. Un ejemplo muy sencillo, cuando Apolonio de Perge creo sus superficies cónicas, hace ya más de 2000 años, estoy seguro que nunca imagino que un fulano (Grote Reber) crearía, en la década de 1930, un dispositivo para maximizar la recepción de ondas de radio (antena parabólica). Incluso hoy en día, la exploración espacial se basa en las cónicas (en la parábola) que describió Apolonio. Así que la teoría de categorías traerá (quien sabe cuando) muchos beneficios a la población general. La prueba está en que ya ocasionó una revolución dentro de las matemáticas.

Por otro lado, como matemático, hay ocasiones en que deseo aprender teoría de categorías, y otras en las que deseo ya haberlas comprendido. Mi tesis de maestría se enfocó en ciertas estructuras topológicas que tienen una estructura algebraica libre. Mi asesor me recomendó como primera opción leer la tesis doctoral de J. Flood (Free topological vector spaces), pero mi capacidad matemática no me dio mucho, sólo me sirvió para entender las primeras 10 o 15 páginas, la razón es que toda la tesis de Flood se basa en el lenguaje categórico. Siendo honesto sigo sin estudiar formalmente la teoría de categorías, pero lo poco que sé de ellas me sirve para decir que son geniales y muy útiles.

Ahora te expondré un par de argumentos de porque sí

• La teoría de categoría es muy, muy abstracta, enserio, no creo que exista una teoría más abstracta que ésta. Su concepto básico es el de morfismo. Pero todos, créeme, todos sabemos que es un morfismo, y si no sabes, te dejo la definición de Lawvere y Schanuel (Matemáticas Conceptuales. Una primera introducción a categorías): Un morfismo de conjuntos es un proceso para ir de un conjunto a otro. Incluso la representación gráfica de un morfismo es aún más fácil de entender: es una simple flecha. Este es un ejemplo de la composición de morfismos:

• A esa edad, los alumnos ya tienen una madurez matemática significativamente mayor a la que tenían en secundaria; incluso pueden plantear y resolver problemas que tengan un fuerte uso del razonamiento lógico.
• Si bien, no creo que los médicos, abogados, contadores, ingenieros, pintores, escultores, bailarines, actores, los transportistas, los comerciantes, nuestros deportistas favoritos, o nuestros elementos policíacos sepan la diferencia entre una retracción y una sección, pero seguro sí saben que si tienes una hoja de papel, entonces el proceso para comprimir la hoja en una bola de papel, y el proceso para llegar de la bola de papel a la hoja desdoblada son procesos completamente diferentes. Es decir, todas las personas, TODAS!, tienen la capacidad para comprender el lenguaje de teoría de categorías en un nivel muy básico, ya sólo esta idea te asegura que puedes aprender la teoría.
• Respecto a este punto, nota que la teoría de categorías habla de dualidad, y creo (no sé, ya dije que no soy experto en esto) que todos los conceptos tienen un dual, esto ya es una gran ayuda para comprender la teoría, todos los conceptos tienen un dual u opuesto!
• Las matemáticas nos hacen libres, y parafraseando a Sáenz de Cabezón: Saber matemáticas nos hace menos manipulables, es decir, el saber seguir las reglas de la lógica elemental nos ayudan a saber cuando alguien (un maestro, nuestros padres o incluso un político) no está viendo la cara de tontos, y bueno, la lógica hace años que ha sido aceptada como algo que debe ser enseñado, pero ¿puedes imaginar que capacidades podemos construir si se nos enseña teoría de categorías desde la educación pre-universitaria?

• Claramente existen unos contras muy específicos, pero creo que todo puede solucionarse.
• Así como en la teoría de conjuntos existen paradojas que afectan las más fuertes bases de esta teoría (¿existe el conjunto de todos los conjuntos?), también en la teoría de categorías existen contradicciones de ese tipo, ¿podemos definir la categoría de todas las categorías? o ¿al menos de las categorías pequeñas?
• Los profesores que enseñen esta teoría deben ser verdaderos cracks matemáticos para poder aterrizar conceptos muy abstractos a un entorno que sus aprendices puedan visualizar y absorber.
• Dejo esto al último porque es la parte más conflictiva, Sí debe enseñarse la teoría de categorías en bachillerato, pero… ¿cómo?. No soy experto en didáctica, pero creo que hay dos enfoques:
• Construir la teoría poco a poco e ir creando conceptos nuevos en base a contra-ejemplos, es decir, ya sabes que es una categoría, que son sus objetos y sus morfismos, así como que es un funtor. ¿Cómo saber que una retracción y un epimorfismo no son lo mismo?
• Construir la teoría en base a ejemplos, es decir, ya que has repasado casi toda la matemática (álgebra superior, teoría de Galois, topología,…) ya tienes una gran background para saber que no todas las sobreyecciones en topología son retracciones, o que los monomorfismo en cierta categoría no siempre son funciones inyectivas (creo…).
• A mi parecer sobre esto, creo que es mejor construir la teoría con contra-ejemplos, y que sean los mismos estudiantes los que los propongan (claro, en los casos "sencillos").

Como mencioné, no soy experto ni en teoría de categorías ni en pedagogía, pero creo firmemente que estos argumentos son base para plantear otros (de manera más formal) que nos ayuden a vislumbrar el por que SI DEBE ENSEÑARSE LA TEORÍA DE CATEGORÍAS EN LA EDUCACIÓN PRE-UNIVERSITARIA.