¿Por qué en la práctica, cuando se hacen cálculos con números irracionales, se usan aproximaciones y no el número completo?

Porque:

1. Eso de trabajar con el número completo está complicado, porque en forma decimal su expasión es infinita. Y encima, como no es periódica, no los puedes expresar como fracción. La única forma de trabajar de forma exacta con un irracional es no calcular su valor. Si es √5 lo dejas como √5 y si es 7π lo dejas como 7π.
2. No podemos medir números irracionales. Si yo te digo que dibujes un segmento que mida 3 cm, lo puedes hacer. Si te digo que dibujes uno que mida 3√2 cm, usando el teorema de Pitágoras, pues puedes llegar a dibujar algo que se acerque mucho, pero no me vas a poder dar nunca exactamente 3√2 cm. Un ejemplo muy claro en el que los irracionales juegan con nosotros son los folios de tamaño A3, A4, A5…

Un folio es un rectángulo, así que imagina un rectángulo. Pues bien, este tipo de folios (A5, A4, etc…) se diseñaron para que se pudieran aumentar al doble y reducir a la mitad sin que se ensanchasen ni estrechasen las cosas. Para eso decidieron:

• El folio A0 tendrá un área de 1 m²
• El folio A1 se obtiene reduciendo el lado más largo del A0 a la mitad y manteniendo igual el más corto. Así el área se reduce a la mitad
• El folio A2 se obtiene reduciendo el lado más largo del A1 a la mitad y manteniendo igual el más corto. Así el área se reduce a la mitad otra vez.
• El folio A3…

Y así sucesivamente.

Para que no se alterase lo que había escrito al pasar de A0 a A1, o de A4 a A3, necesitaban que la proporción de los lados se mantuviese al reducir el más largo. Sólo hay una proporción que vaya a cumplir eso. Y se puede calcular matemáticamente. Si llamamos al lado más largo «a» y al más corto, «b», esto es lo que pedimos:

ab=b(a2)ab=b(a2)

Así que:

ab=2baab=2ba

ab=2⋅baab=2⋅ba

Como a/b es el inverso de b/a:

ab=2⋅1(ab)ab=2⋅1(ab)

ab=2(ab)ab=2(ab)

Si ahora hacemos el siguiente cambio de variable:

x=abx=ab

Pues nos queda la cosa así:

x=2xx=2x

Mutiplicando por x ambos miembros (sabiendo que x no es 0)

x2=2x2=2

x=±2–√x=±2

Deshaciendo el cambio de variable:

ab=±2–√ab=±2

Pero recordemos que a y b son longitudes, luego han de ser positivos, y por tanto a/b también será positivo. Así que nos olvidamos de la raíz negativa:

ab=2–√ab=2

Es decir, los folios tienen que tener una proporción entre sus lados de √2.

¡Oh, oh! ¿Ves lo mismo que yo? Tenemos a/b, que es una fracción, igualado con un irracional. Pero precisamente la característica de los irracionales es que no pueden ser expresados como una fracción. Puedes encontrar una fracción cuyos primeros siete decimales coincidan con los de √2, o que coincidan catorce, o cincuenta, o un millón, pero nunca vas a encontrar una fracción que sea exactamente igual a √2. Y efectivamente, si mides el largo y el ancho de un folio A4 o A3, y divides el largo entre el ancho, te dará algo muy cercano a √2, pero no va a ser exacto, porque es matemáticamente imposible que una división de racionales dé como resultado un irracional.

Espero que te ayude a entender por qué no usamos irracionales de forma exacta fuera del ámbito de la teoría y las matemáticas puras.