¿Existe la reencarnación puesto que no se ha comprobado lo contrario?

Ese es un razonamiento incorrecto.
Los razonamientos incorrectos se conocen con el nombre de falacias.
Esas falacias se clasifican en diferentes tipos, y esta en concreto se conoce como “Argumento ad ignorantiam” o “llamada a la ignorancia”
Argumento ad ignorantiam - Wikipedia, la enciclopedia libre

Básicamente, este tipo de argumento viene a decir que si algo ‘no se sabe’, si no se ha probado, entonces es mentira. Y claramente es un argumento que se puede usar para cualquier cosa, no solamente para la reencarnación o aspectos religiosos.

Ese tipo de razonamiento es incorrecto, no es procedimiento válido para llegar a la verdad. Esto se puede ver de diferentes formas.

Por ejemplo, cuando algo no se ha probado tampoco se ha probado lo contrario y esto significa que con ese argumento se podría probar una cosa y la contraria, lo cual es una contradicción.
En el ejemplo de la reencarnación: no se ha probado que no exista, pero tampoco se ha probado que exista… por tanto, usando el mismo arma argumental podríamos decir que si no se ha probado que existe, la reencarnación no existe. Hemos probado que existe y también que no existe, y ambas cosas no pueden ser, así que algo falla, y lo que falla es el procedimiento argumentativo, el razonamiento, que es incorrecto, es una falacia.

Otra forma de ver que es incorrecto sería ver ejemplos en los que falla.
Por ejemplo, el llamado Último teorema de Fermat estuvo varios siglos sin ser probado. Afirmaba que no existía un número natural n mayor que 2 que pudiese cumplir que
xn+yn=znxn+yn=zn
siendo x, y, z enteros positivos también.

Según el razonamiento alguien podría decir que como no se había probado lo contrario, existiría un n mayor que 2 que sí que cumpliría la ecuación.

Pero resulta que esa forma de pensar conduciría a una mentira, porque luego se probó que era imposible, que no existían tales números que lo pudiesen cumplir.

En resumen: si algo no se ha probado, entonces no se sabe… pero que no se sepa no implica que sea cierto con seguridad, ni que sea falso con seguridad, que no se sabe es eso, que no se sabe con seguridad.

Además, como dijo sí se ha probado lo contrario… (o hasta cierto punto, basándonos en ciertas premisas más o menos sólidas). Por tanto, el argumento sería doblemente incorrecto… por un lado, incorrecto como argumento general, es una falacia; y, por otro lado, incorrecto porque parte de una premisa que es falsa.

Ejemplo:
“No se ha demostrado que el número de números primos sea infinito, así que como no se ha demostrado lo contrario, esto prueba con seguridad que los números primos es un conjunto finito”
Esto es rematadamente falso… Primero, porque cuando algo no se ha demostrado no se sabe, y si no se sabe no se puede afirmar ni una cosa ni la contraria. Y, segundo, porque sí se ha demostrado que los primos son infinitos, lo demostró un griego hace más de 2000 años… Y se puede demostrar de forma relativamente sencilla.

En general, se suele decir que ‘afirmaciones extraordinarias requieren pruebas extraordinarias’ o que la carga de la prueba recae en quien afirma algo y no en quien dice que no lo sabe. Si alguien afirma que existe la reencarnación es quien debe aportar las pruebas que conducen a esa afirmación y no al contrario… no vale acusar a los demás de que no tienen pruebas de lo contrario.

Las falacias deberían enseñarse en las escuelas a los niños de 10 años, para aprender a razonar desde edad temprana y que no los engañen.
Recomiendo encarecidamente leer más sobre falacias, a quien no las conozca.
Aquí tenéis un buen listado de ellas.
Anexo:Sesgos cognitivos - Wikipedia, la enciclopedia libre

Algunas de las más famosas:

• Ad hominem: asegurar que algo es falso porque lo dice alguien en concreto… es decir, desprestigiar a quien lo dice y concluir que como quien lo dice “no es de fiar” entonces con seguridad tiene que ser falso. Independientemente de quien lo diga, independientemente de si realmente es de fiar o no lo es, hay que probar que algo sea falso, no basta con recurrir a quien lo ha dicho.
• Recurso a la autoridad: similar a lo anterior, pero para asegurar que algo es verdadero, también por quien lo dice, en este caso una persona reputada, una autoridad… Como se dijo antes, quien lo diga no es suficiente prueba, debe darse un razonamiento válido.
• Cum hoc, ergo propter hoc: “con esto, por tanto a causa de esto” … La frase que invalida eso es ‘correlación no implica causalidad’. Algo puede ir acompañado de otra cosa pero eso no implica que sea la causa.
  Un ejemplo muy famoso: se estudió en un colegio la relación entre el tamaño del pie de los alumnos y la compresión lectora. Se observó que quienes tenían los pies más grandes habitualmente tenían mayor comprensión… Un argumento incorrecto, falaz, sería decir: “como la compresión lectora va acompañada de un mayor tamaño del pie, entonces es a causa del mayor tamaño del pie”. Más tarde se vio que quienes tenían mayor tamaño del pie eran los alumnos que tenían mayor edad, unos meses más de edad que los otros… y que por esa mayor edad también tenían mayor comprensión lectora. Evidentemente, alargarles los pies no iba a hacer que tuviesen mejor comprensión (si eso no iba acompañado de un aumento de la edad, la experiencia, la madurez mental…)

Hay muchas falacias… y se ven contínuamente en periódicos, en políticos, en bulos que corren por Internet… Conviene conocerlas para protegernos frente a engaños, y, además algunas son interesantes o incluso divertidas, con muchos ejemplos prácticos curiosos.