Si un axioma es una verdad que creemos sin necesidad de tener en cuenta una demostración, entonces, ¿que diferencia a este de un dogma de fe?

Hay varias diferencias sutiles.

Una de las más profundas diferencias es que quien propone el axioma no va vestido con largos faldones (en general, claro que puede haber excepciones), pero, sobre todo, admite sin ninguna irritación que su "axioma" se discuta y se dude de él: incluso él mismo (o ella misma) están dispuestos a rechazarlo si demuestran (ellos u otra persona cualquiera), que tal axioma es incoherente consigo mismo o con los demás axiomas previamente admitidos.

Otra diferencia muy notable es que la discrepancia entre quienes aceptan y quienes no aceptan un axioma nunca ha dado lugar a represiones violentas (guerras, asesinatos, torturas, encarcelamientos…). A nadie se le ha quemado vivo por no admitir el axioma de elección, por ejemplo, o el postulado V (el de las paralelas) de Euclides.

La palabra "creer" no va bien con la palabra "axioma". Los axiomas no "se creen", sino que se toman como "punto de partida", se "parte" de ellos y se deducen consecuencias llamadas teoremas, proposiciones, propiedades…Tal vez sería más inquietante que cada axioma pudiera demostrarse basándose en un infra-axioma, y a su vez cada infra-axioma pudiera probarse basándose en un infra-axioma de segundo orden…y así hasta el infinito. Como nunca terminaríamos el "retroceso demostrativo", la matemática no tendría ninguna base en absoluto, reposaría sobre sí misma…

Pero la diferencia más palpable para el ciudadano de a pie, que puede advertirla sin ser experto en la materia, es que los axiomas dan lugar a teoremas que constituyen no sólo una sino varias teorías, cuya aplicación a las ciencias experimentales produce objetos como aviones supersónicos, naves espaciales, microscopios electrónicos, ordenadores, helicópteros, barcos, automóviles, relojes atómicos de una precisión asombrosa, energía nuclear (bien o mal utilizada, ése es otro cantar…).

Ahora búsquese algo, una construcción tangible y observable de manera intersubjetiva que se base en un dogma de fe, y que quien lo crea, exclusivamente por esa creencia y no por ninguna otra razón ni conocimiento, obtenga ese resultado físico observable inmediatamente, e imposible de construir para quien no lo crea. He ahí otra diferencia irreconciliable entre axioma y dogma de fe.

Cuando se caen desde el mismo piso de un rascacielos (por cierto, ¿habrá "rascainfiernos"?) un creyente, un ateo, una persona de derechas, otra de izquierdas y un vendedor de lavadoras, que no cree más que en lo escaso de su sueldo mensual, todos alcanzan el suelo en el mismo tiempo, independientemente de su peso, de acuerdo con la ecuación del movimiento uniformemente acelerado, siempre que todos lleven ropas normales y no paracaídas.

Los axiomas de la matemática predicen, explican y producen resultados fácticos objetivos en las demás ciencias y en la propia matemática, si se cree en ellos como si no, y no hace falta esperar a morirse, ni a que llegue el remoto día del Juicio Final para comprobarlo.