¿Por qué ciertas constantes que surgen en matemáticas y física, como la constante de Planck o pi, parecen tan arbitrarias y no fundamentales? ¿Cuál...

Hola. Te respondo más que nada porque veo que aquí la gente se anima en seguida a escribir sin tener ni la más mínima idea, y tu pregunta es inteligente y merece una respuesta informada. Yo creo que Quora es para responder acerca de algo que conoces a fondo y personalmente, por tu profesión o tus aficiones, no para decir cualquier cosa a tontas y a locas. Escribo pues para darte la respuesta correcta y además corregir las otras que, o son incorrectas o no dicen nada (y por supuesto, todas estas están denunciadas a la moderación de Quora en uno u otro sentido).

Primero, hay una diferencia fundamental entre constantes matemáticas y físicas. Las primeras son así porque sí, es decir, no hay explicación. El número pi es una propiedad de la geometría que observamos asumiendo los postulados de Euclides, no puede explicarse, simplemente es. Recuerdo una novela de ciencia ficción, creo que es "Contacto" de Carl Sagan, o puede que fuera alguna de Arthur C. Clarke, en que se llegaba a averiguar que los decimales de pi contenían en realidad mensajes, que por tanto debían atribuirse al Dios creador. Bonita idea, pero eso es pura ciencia ficción, de unos autores particularmente religiosos, esto es, cristianos. Ni hemos detectado ningún mensaje en el número pi, ni se conoce ningún significado que se le pueda atribuir. Lo mismo pasa con otros con origen en series, límites, ecuaciones algebraicas, etc., como el número e, la proporción áurea, etc. Hay muchos más, aquí tienes una lista bastante amplia:

Sucede también que al resolver muchos problemas matemáticos en ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales aparecen números no racionales que son así, no tienen tampoco explicación, y deberíamos añadirlos a la lista anterior, que solo incluye los más famosos.

También piensa en el problema que origina el fractal de Mandelbrot:

Es una ecuación puramente algebráica entre números puros. No significa nada, y origina una complejidad alucinante, y la teoría "empírica" de los fractales. Pero siguen siendo números puros, no existe ninguna explicación.

Las constantes físicas, por el contrario, tienen algo que estas no tienen (1): una dimensión: han de expresarse en unas unidades. Y ahí está la diferencia. Considera por ejemplo el valor actual de la velocidad de la luz:

Este es exactamente 299 792 458 m/s. ¿Por qué? ¿Por qué exactamente? ¿Por qué no 300 000 000, que es un número más redondo y fácil de recordar? ¿Por qué no cualquier otro valor?

Respuesta: porque el valor se expresa en unas unidades (metros por segundo en este caso) y esas unidades han de definirse previamente. Al principio, las definimos en base a modelos físicos. Así por ejemplo, el metro era primero una fracción del cuadrante terrestre, y luego un legendario prototipo de platino-iridio que estaba en París, y que se pensaba que era inalterable.

Pero toda medida tiene una incertidumbre y los modelos físicos en realidad se degradan, y de esta manera, la forma en que lo hacen no la podemos conocer, porque ellos mismos son los que definen nuestras unidades. A partir de 2018, el Sistema Internacional (SI) de unidades, definido por la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, ha completado otra forma de funcionar más conveniente.

Según esta, las constantes físicas se fijan como un valor exacto, sin error, y las unidades de medida se definen en función unas de otras y de estas constantes. Así por ejemplo (y esta definición es la más antigua, tiene más de 20 años), la unidad de longitud llamada metro se basa en la definición del segundo y en establecer que es la longitud recorrida por la luz en el vacío en 1/299 792 458 segundos. El patrón de más alto nivel del metro es un experimento para medir la velocidad de la luz, sabiendo de antemano que el resultado exacto debe ser ese valor.

En el momento de fijar las constantes, se podría haber redondeado. Por ejemplo, establecer que la velocidad de la luz es exactamente 300 000 km/s en lugar del valor de más arriba. Pero con ese nuevo valor, el metro hubiera sido un poco más corto, y eso hubiera cambiado muchas cosas en ciencia e industria. Así que, para simplificar, se dejo en el último valor medido con las anteriores definiciones de unidades.

Esto se aplica igualmente a otras unidades y constantes físicas, como las de Planck y Boltzmann y el número de Avogadro, que ahora son valores fijos por definición y sirven para definir las unidades de temperatura absoluta (kelvin), masa (kg) y cantidad de sustancia (mol). Y así con todas las demás constantes y unidades.

Así pues, resumiendo: el valor de las constantes físicas actuales es arbitrario pues está fijado por las antiguas definiciones arbitrarias de las unidades de medida.

(Se aceptan comentarios y preguntas, pero cualquier troll que venga a insultar será denunciado y baneado inmediatamente.)

(1) Hay alguna constante física que incorpora números irracionales matemáticos. P. ej., la segunda constante de radiación que determina el máximo de la distribución de Planck contiene el resultado de una integración que no puede hacerse de forma analítica porque se desconoce la primitiva.