(5.19) pero, donde las constantes arbitrarias correspondientes a la solución del sistema (5.19) son ahora función de t a determinar es decir, si )t...

(5.19) pero, donde las constantes arbitrarias correspondientes a la solución del sistema (5.19) son ahora función de t a determinar es decir, si )t(q i = ( )βαϕ ,,ti y )t(p i = ( )βαΦ ,,ti son soluciones de (5.19) entonces, las soluciones de (5.20) tienen la forma, )t(q i = [ ])t(,)t(,ti βαϕ (5.21) )t(p i = [ ])t(,)t(,ti βαΦ lo cual supone que las constantes α y β dependen de t. Calculemos primero las derivadas totales de )t(p i y )t(q i respecto de t y luego, reemplazamos las derivadas en el sistema (5.20), resulta: § 5.3 Método de variación de las constantes arbitrarias. 111 i . q = t qi ∂ ∂ + ∑ ν)(       β β∂ ∂ + α α∂ ∂ ν ν ν ν td dq td dq ii = ip H ∂ ∂ − ip R ∂ ∂ y análogamente i . p = t pi ∂ ∂ + ∑ ν)(       β β∂ ∂ + α α∂ ∂ ν ν ν ν td dp td dp ii = − iq H ∂ ∂ + iq R ∂ ∂ . En virtud del sistema de ecuaciones diferenciales (5.19) podemos escribir, t q i ∂ ∂ = ip H ∂ ∂ y t pi ∂ ∂ = − iq H ∂ ∂ , ya que t qi ∂ ∂ y t q i ∂ ∂ se calculan suponiendo que α = β = constante; entonces, queda por demostrar: ∑ ν)(       β β∂ ∂ + α α∂ ∂ ν ν ν ν . i . i qq = − ip R ∂ ∂ (5.22) ∑ ν)(       β β∂ ∂ + α α∂ ∂ ν ν ν ν . i . i pp = iq R ∂ ∂ es decir, resulta un sistema de 2k ecuaciones diferenciales lineales con 2k incógnitas, a saber:         ββββαααα k . 3 . 2 . 1 . k . 3 . 2 . 1 . ,...,,,;,...,,, ⇒⇒⇒⇒       βα i . i . , ⇒⇒⇒⇒ incógnitas (i = 1, …, k) Este conjunto de variables representa las 2k incógnitas, cuya determinación y posterior integración nos permite conocer las constantes α y β en función de la variable t. Es importante destacar que este sistema se puede resolver sin utilizar determinantes (porqué ?). Para ello, si en la expresión que define R reemplazamos las funciones p y q por las ecuaciones (5.21), i.e., en función de las α y β, implica entonces que R también es función compuesta de dichas variables. Por lo tanto, es posible evaluar la derivada de R respecto de las jα , resulta: j R α∂ ∂ = ∑ µ)(         α∂ ∂ ∂ ∂ + α∂ ∂ ∂ ∂ µ µ µ µ jj p p Rq q R Luego, si tenemos en cuenta el sistema (5.22) podemos calcular las derivadas de µ∂ ∂ q R y µ∂ ∂ p R , entonces se tiene, j R α∂ ∂ = ∑ µ)(                 β β∂ ∂ + α α∂ ∂ α∂ ∂ −        β β∂ ∂ + α α∂ ∂ α∂ ∂ −        β β∂ ∂ + α α∂ ∂ α∂ ∂ ∑∑ ν ν ν µ µ ν ν µ µ )( .. j)( .. j qqpppq 112 § 5.3 Método de variación de las constantes arbitrarias. 1 En el cálculo vectorial, el jacobiano es una abreviación de la matriz jacobiana y su determinante es el Jacobiano; llamado así en honor al matemático Carl Gustav Jacobi. 2 Se recomienda consultar: McCuskey, S.W.; 1963, “Introduction to Celestial Mechanics”, Cap. 6, págs. 128- 142. Esta ecuación se puede escribir en forma abreviada, teniendo presente que las expresiones entre paréntesis son los Jacobianos 1 , por lo tanto resulta: j R α∂ ∂ = ∑ ν)( [ ] [ ]       βαβ+ααα νννν j . j . (5.23) donde los corchetes tienen las expresiones: [ ναα j ] = ∑ µ µ ν µ ν µµ         α∂ ∂ α∂ ∂ − α∂ ∂ α∂ ∂ )( jj pqpq = ),( )p,q( j ν µµ αα∂ ∂ (5.24) [ νβα j ] = ∑ µ µ ν µ ν µµ         α∂ ∂ β∂ ∂ − β∂ ∂ α∂ ∂ )( jj pqpq = ),( )p,q( j ν µµ βα∂ ∂ (5.25) Las ecuaciones (5.24) y (5.25) definen los “famosos” corchetes de Lagrange 2 , mediante los cuales podemos escribir: j R β∂ ∂ = ∑ ν)( [ ] [ ]       βββ+αβα νννν j . j . (5.26) Las ecuaciones (5.23) y (5.26) permiten calcular las variaciones de R respecto de las jα y νβ . El siguiente paso es calcular los corchetes de Lagrange, para ello hacemos la siguiente consideración: si en la función S = S (t, q, α) reemplazamos los q por su expresión dada en (5.21) entonces, la función S toma la siguiente forma: S = S [ ]αβαϕ ,),,t(,t = S´ ( t, α, β ) por lo tanto, podemos calcular las derivadas de S´ respecto de una cualquiera de las variables αj ó βj, j S α∂ ′∂ = j S α∂ ∂ + j)( q q S α∂ ∂ ∂ ∂ ν ν ν ∑ (5.27) j S β∂ ′∂ = j)( q q S β∂ ∂ ∂ ∂ ν ν ν ∑