correspondientes cantidades {x´, y´, z´} y { ´x . , ´y . , ´z . } calculadas para el instante t1 a partir de los elementos osculadores en ese instante; entonces las diferencias (x − x´), etc. representan las perturbaciones en las coordenadas, ídem para las velocidades. La posibilidad de usar la solución (una sección cónica) del problema de dos cuerpos como una órbita intermedia se basa en su aproximación, al menos por un tiempo considerable, a la orbita real del cuerpo. Numerosos intentos analíticos y numéricos se han realizado con el fin de utilizar la órbita aproximada a la órbita real considerando a ésta como una orbita intermedia. Un excelente ejemplo es la teoría de la Luna propuesta por G. W. Hill (1838-1914); ver Capitulo 8. NOTA. Consultar: Wilson, Curtis; 2010,”The Hill-Brown Theory of the Moon’s Motion”, Ed. Springer 186 § 7.8 Síntesis del desarrollo de la función perturbadora. 1 O´Keefe, J. A., Eckels, A. y Squieres, R. K.; 1959, Astronomical. Journal 64, pág. 245. En el caso de un satélite artificial es posible elegir, como una primera aproximación, una órbita que esta más distante de la descripción exacta del movimiento que una simple elipse Kepleriana. Las perturbaciones generales son útiles no solamente para dar futuras posiciones del planeta, sino también porque ellas permiten descubrir ó detectar una fuente (cuerpos físicos) de ciertas perturbaciones observables; esto se deba a que en varias partes de la función perturbadora están presentes explícitamente expresiones analíticas. Por ejemplo, el descubrimiento de la forma de pera de la Tierra por O´Keefe et al. 1 fue hecha de un estudio de las perturbaciones de largo período de la órbita del Satélite 1958 (β2) debido al tercer armónico en el potencial gravitacional de la Tierra. Recomendamos: Beutler, G.; 2005, “Methods of Celestial Mechanics”, Ed. Springer-Verlag De Pater, I. & Lissauer, J.; 2010, “Planetary Sciences”, Ed. Cambridge University Press. Dvorak, R. & Lhotka, Ch.; 2013, “Celestial Dynamics. Chaoticity and Dynamics of Celestial Systems”, Ed. Wiley-VCH. Murray, C.D. & Dermott, S.F.; 2001, “Solar System Dynamics”, Ed. Cambridge University Press. § 8.1 Conceptos generales y ecuaciones de movimiento. 187 Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo 8888 La Teoría de la Luna de Hill. § 8.1 Conceptos generales y ecuaciones de movimiento. Consideremos el problema restringido de tres cuerpos en el plano es decir, un sistema de coordenadas cartesianas {x,y} en rotación, con origen en el baricentro que determinan los cuerpos “el Sol” con masa (1− µ) y el planeta Tierra con masa µ. El grafico 41 muestra esta configuración. Figura 41. En el plano {X,Y} graficamos la posición del Sol [masa = (1−µ)] y del planeta Tierra (m = µ). La distancia Sol−Tierra es igual a la unidad. El punto G representa el baricentro de las masas (1−µ) y µ. Sean {x, y} las coordenadas, en un instante t, del punto masa m = 0 respecto del sistema {X,Y}. La posición del Sol respecto del centro de masa G, plano [X,Y] es: {µ,0} y la posición de la Tierra también respecto de G, en el mismo plano, es {(1−µ),0}; luego las coordenadas del Sol son: {µ,0} y de la Tierra {(1−µ),0}. La velocidad angular del punto masa µ respecto del Sol, es igual a uno; además, {x,y} representan las coordenadas, en un cierto instante t, del punto masa m = 0. Indiquemos con ρ1 y ρ2 las distancias de los puntos (1−µ) y µ al punto de masa nula; entonces, las ecuaciones diferenciales del movimiento de este cuerpo (m = 0) respecto del baricentro G son, en coordenadas cartesianas: ∂Ω∂y∂Ω∂x2yxy2x... donde, Ω = )yx(2 1)1( 22 21 ++ ρµ+ρµ−. Sol Tierra (1 − µ) µ Luna (m = 0) Y X (ξ) η ρρρρ1 ρρρρ2 ξ y η G ∗∗∗∗ 1 x NOTA: Consultar Capítulo 4, ecuación (4.4), pág. 72. Los vectores posición ρρρρ1 y ρρρρ2 representan, respectivamente, las distancias desde el Sol y la Tierra a la Luna. La posición de la Luna respecto del baricentro G es {x,y}. Vamos a realizar una traslación de ejes porque nuestro interés es estudiar el movimiento del punto m = 0 en un entorno de la masa µ, i.e., nos interesa estudiar el movimiento de la Luna respecto de la Tierra; por esta razón modificamos el origen de coordenadas. Los ejes coordenados del nuevo sistema, denominado geocéntrico, por ser la Tierra el nuevo centro de coordenadas, los designamos con {ξ,η} entonces, las coordenadas de la Luna respecto del centro de la Tierra son: {ξ,η}; luego, ξ y η están definidas como, ver Fig. 41: ξ = x + µ − 1 η = y por lo tanto, las distancias ρ1 y ρ2 tienen las siguientes expresiones: ρ12 = (x + µ)2 + y2 ρ22 = (x + µ − 1)2 + y2. también se pueden expresar en función de ξ y η, de la forma: ρ12 = (ξ + 1)2 + η2 ρ22 = ξ2 + η2. en consecuencia, la relación entre las coordenadas en ambos sistemas {x,y} y {ξ,η} es: x2 + y2 = (ξ + 1 − µ)2 + η2. Entonces, teniendo en cuenta estas igualdades, las ecuaciones diferenciales de movimiento del cuerpo m no varían en su forma, es decir, ∂Ω∂y∂Ω∂x2yxy2x... donde, Ω = ( )[ ]22 21 1)1( η+µ−+ξ+ ρµ+ρµ− (8.1) Notar que las ED de movimiento conservan su forma, si bien las variables son otras y están referidas al centro de la Tierra. Nos proponemos estudiar el movimiento de m entorno de µ por lo tanto, podemos suponer que las coordenadas ξ y η son muy pequeñas en comparación con las coordenadas x e y, i.e., {ξ,η} << {x,y}; entonces, se puede despreciar en primera aproximación, en la función perturbadora Ω, los términos de orden superior al segundo en las distancias. Para ello hacemos una permutación en la notación, cambiamos {ξ,η} por {x,y} por lo tanto, las ecuaciones (8.1) toman la forma: ∂Ω∂y∂Ω∂x2yxy2x... Ω = ( )[ ]22 21 y1x 2 1)1( +µ−++ ρµ+ρµ− (8.2) donde: 21ρ = ( ) 22 y1x ++ ; 22ρ = 22 yx + ; Ω = (1−µ) [ ] 2 1 22 yxx21 −+++ + µ [ ] 2 1 22 yx −+ + 2 1 [ ]222 yxx)1(2)1( ++µ−+µ− Como las nuevas coordenadas del cuerpo m son {x,y}, posición de la Luna respecto de la Tierra, resulta | x | << 1, | y | << 1, ¿porqué?. Entonces, si hacemos 2x + x2 + y2 = X, la función Ω toma la forma: Ω = (1−µ) [ ] 2 1 X1 −+ + µ [ ] 2